Un teorema debido a Hodge: Hawking/Ellis

Mi referencia favorita para este tipo de cosas que abarcan la física y la geometría es "La geometría de la física" de Frankel. En el capítulo sobre formas armónicas, encontrará lo que él llama simplemente "Teorema de Hodge". Es un poco más general de lo que necesita, porque se aplica a general$p$-formularios, y solo necesitas funciones ($0$-formas). Así que lo especializaré en funciones.

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Teorema de Hodge (para funciones): Sea$M^n$sea ​​una variedad de Riemann cerrada. Entonces la ecuación de Poisson

$$\begin{equation} \Delta \alpha = \rho \tag{A} \end{equation}$$ (dónde$\alpha$y$\rho$son funciones de valor real, y$\Delta$es el laplaciano) tiene solución$\alpha$si y solo si$\rho$tiene valor medio$0$en$M^n$: $$\begin{equation} \int_M \rho\ \mathrm{vol}^n = 0. \tag{B} \end{equation}$$

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Ahora, para traducir entre la notación de Frankel y la de Hawking & Ellis, debemos sustituir ^†

$$\begin{align} M &\leftrightarrow \partial \mathscr{B}, \\ \alpha &\leftrightarrow y, \\ \rho &\leftrightarrow \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \\ \end{align}$$ También tenga en cuenta que Hawking y Ellis usan una notación más explícita para el laplaciano, de modo que $$\begin{equation} \Delta y \leftrightarrow y_{;bd} \hat{h}^{bd}. \end{equation}$$ Ahora, sustituyendo estas traslaciones, podemos reescribir la ecuación de Poisson [Eq. (A)] como $$\begin{equation} y_{;bd} \hat{h}^{bd} = \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \tag{A'} \end{equation}$$ Entonces el teorema de Hodge nos dice que es posible encontrar una función$y$que satisface esta ecuación si y sólo si la integral del lado derecho de la Ec. (A') sobre$\partial \mathscr{B}$es cero

Alternativamente, podríamos reescribir la Ec. (B) y decir que una función$y$existe para resolver la Ec. (A') si y sólo si

$$\begin{equation} \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{const}\ \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \tag{B'} \end{equation}$$ Pero tenemos que ajustar el valor de "$\mathrm{const}$", por lo que podemos establecerlo en lo que necesitemos para que esta ecuación sea verdadera.

Hawking y Ellis señalan que$p_{b ; d} \hat{h}^{bd}$es una divergencia pura. Entonces puedes usar el teorema de Stokes para transformar su integral sobre$\partial \mathscr{B}$en una integral sobre el límite de$\partial \mathscr{B}$. Pero el límite de un límite siempre está vacío, ^†† por lo que la integral tiene valor$0$. Por lo tanto, este término desaparece cuando haces la integral en el lado derecho de la ecuación. (B'). Así que el teorema ahora establece que una solución para$y$existe si y solo si

$$\begin{equation} \mathrm{const}\ \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \end{equation}$$ La integral del lado izquierdo es simplemente el área de$\partial \mathscr{B}$, y Hawking & Ellis también dejan implícita la forma de volumen, por lo que podemos reescribir esto como $$\begin{equation} \mathrm{const} = \frac{\int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)} {\mathrm{Area}}. \tag{C} \end{equation}$$ Se supone que el área es finita y distinta de cero, y es necesariamente no negativa, por lo que, como afirmaron Hawking y Ellis, el signo de la constante está determinado por esta integral.

Ahora, una forma matemáticamente elegante de enunciar la conclusión sería que dado$p_a$,$Y_1^b$,$Y_2^c$,$R_{ijkl}$, y$\hat{h}^{mn}$, se puede elegir una constante [dada por la ecuación. (C)] tal que existe una función$y$que resuelve la Ec. (A'). Hawking & Ellis cambian el énfasis para adaptarlo a sus objetivos, pero la afirmación también es cierta: existe una$y$tal que los primeros cuatro términos en la ecuación de la pregunta original. (1) se suman a una constante, cuyo signo está determinado por la integral en el lado derecho de la ecuación. (C).

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^† Tenga en cuenta que he omitido el$p'^a p'_a$término en la Ec. (1) de la pregunta original; ese término implica derivados de$y$que no sea el laplaciano, por lo que el teorema de Hodge no se aplica a ellos. Pero también tenga en cuenta que Hawking & Ellis en realidad no afirman que deba incluirse en lo que es igual a una constante. Así que en realidad no es relevante aquí.

^†† Solo para aclarar, el límite de un límite siempre está vacío cuando se trata de variedades . Esto no es cierto para espacios topológicos más generales, porque en esos entornos la palabra "límite" significa algo diferente .