Mecánica rotacional: ¿es posible la aceleración angular sin ningún par externo?

La definición de torque no es$\tau=Id\omega/dt$. Ni siquiera podemos definir cosas como$I$y$\omega$para rotación que no es rígida.

La definición de par es$\tau=dL/dt$. Entonces sí, es posible tener una aceleración angular sin un par externo. Su ejemplo muestra correctamente que esto puede suceder.

entonces podemos concluir que el hombre tiene aceleración angular sin ningún par externo, lo cual es una aparente contradicción de los términos, entonces, ¿cómo reconciliamos el caso con el concepto?

Lo reconciliamos con la ley de conservación del momento angular.

La velocidad angular del patinador aumenta cuando retrae los brazos para conservar el momento angular. El momento angular del patinador no cambiará a menos que se aplique un par externo al objeto. Entonces, al contrario de lo que piensas, el cambio en la velocidad angular se debe a que no se aplica un par externo al patinador para conservar el momento angular.

Conservacion de energia:

El aumento de la velocidad angular también puede explicarse por la conservación de la energía cinética de rotación. Ignorando la fricción, no hay fuerza externa que pueda causar un cambio en la energía cinética rotacional de los patinadores = 1/2 I$a^2$donde I es el momento rotacional de internia del patinador y$a$es la velocidad angular del patinador. Cuando el patinador tira de sus brazos, reduce el momento de inercia rotacional I. Para conservar la energía cinética, la velocidad angular del patinador$a$debe aumentar Sin embargo, tenga en cuenta que puede decir que una fuerza interna es lo que permitió al patinador tirar de sus brazos.

Espero que esto ayude.

Cuando tiras de los brazos, no los estás tirando directamente hacia el centro, porque estás girando mientras los tiras. De aquí es de donde proviene la fuerza que realmente te hace girar más rápido. Definitivamente deberías ver este video donde explica exactamente esto. Pase a 10 m si tiene prisa, pero vale la pena ver el video completo.

Sé a lo que te refieres con que las explicaciones de "conservación del momento angular" pueden parecer que ocultan los detalles de las fuerzas y pares reales que están ocurriendo. Puede argumentar que las leyes de conservación son en realidad más fundamentales, pero de cualquier manera ambas explicaciones siempre son posibles y siempre dan el mismo resultado.

¿Podemos explicar el caso anterior con la ayuda de solo fuerzas sin usar ningún resultado como "Conservación del momento angular"? Creo que eso nos dará más información sobre lo que está sucediendo exactamente.

Bueno, sí y no. Porque con las leyes de conservación angular, puedes decir que$L = L$, Lo que significa que$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$, y luego puedes hacer algunos cálculos en el reverso de un sobre, y listo. Esta es la razón por la que las leyes de conservación son tan agradables: a menudo se puede reducir enormemente un problema usándolas.

Así que no voy a hacer todos los cálculos porque soy perezoso y porque tengo la ley de conservación adecuada. Pero, en general, sea la velocidad de rotación inicial del patinador$\omega_1$. Entonces sus manos se mueven a una velocidad$\omega_1 r_1$, dónde$r_1$es la distancia de sus manos a su eje de rotación. Mientras tiran de sus brazos,$r$va a disminuir; esto significa que su cuerpo giratorio tratará de reducir la velocidad de sus manos (porque si$\frac{dr}{dt} < 0$entonces también lo es$\omega \frac{dr}{dt} < 0$). Ese "tratar de reducir la velocidad de sus manos" se traducirá en que ejercen una fuerza tangencial sobre sus manos, lo que significa que sus manos ejercerán una fuerza tangencial sobre su cuerpo, lo que significa que su cuerpo se acelerará.

Tenga en cuenta que he pasado de dos ecuaciones cortas a un párrafo largo y aún no he terminado.

Si fuera a calcular esto exactamente, tendría que tener en cuenta el hecho de que hay una masa que se distribuye a lo largo de sus brazos y que su velocidad de rotación cambia al mismo tiempo que sus brazos tiran hacia adentro, etc. etc. Terminaría con una ecuación diferencial parcial que, si no me equivoco (alguien puede corregirme), también es no lineal. Consumirás páginas y páginas para hacer los cálculos, y cuando hayas terminado, obtendrás el mismo resultado que si hicieras dos ecuaciones simples y cortas .

Entonces, de nada. Solo agradeceré a Dios* que vivimos en un universo que es rotacionalmente simétrico e invariable con el tiempo**, y haré las dos líneas de matemáticas. Si necesito calcular , digamos, las fuerzas involucradas en la expansión y contracción de un trompo, entonces no formularé una ecuación gigante que resuelva$\omega$-- Hallaré que usando la conservación de la cantidad de movimiento a lo largo del tiempo, luego encontraré$\frac{d\omega}{dt}$en cualquier momento, lo usaré para encontrar las fuerzas tangenciales que necesito resolver.

* o al azar, o el Creador Universal de su elección

** Y a Emily Noerther por señalar que la consecuencia de esto es la conservación del momento de rotación y la energía.

1. Aceleración angular no es lo mismo que aceleración de traducción. La aceleración traslacional en un objeto no puede ocurrir sin ninguna fuerza externa, pero la aceleración angular en un objeto puede ocurrir sin ningún par externo.

2. El torque externo NO es la única fuente de aceleración angular. La aceleración angular en un cuerpo giratorio puede ocurrir incluso cuando el momento de inercia del cuerpo está cambiando.

3. Consideremos un caso simple en el que un automóvil se mueve en una carretera recta y un observador lo ve desde la distancia. En este caso, el automóvil tendrá una velocidad angular variable con respecto al observador y, por lo tanto, también una aceleración angular. ¡En este caso, no hacemos la pregunta de qué par es responsable de la aceleración angular del cuerpo! Entonces, concluye que no es necesario que el torque sea una fuente de aceleración angular.

4. En el caso de un hombre en rotación, cuando el hombre está estirando o contrayendo sus brazos, las diversas partes de los brazos siguen una trayectoria en espiral y la fuerza centrípeta forma un ángulo obtuso o un ángulo agudo con la velocidad instantánea de cualquier parte del brazo, que ya sea desacelera o acelera la parte del brazo, que cambia las velocidades instantáneas de todas las partes del brazo y, por lo tanto, la velocidad angular también cambia y la tasa de cambio de la velocidad angular se ve como aceleración angular.

Los siguientes dos recursos exponen de manera sorprendente las ideas anteriores.

Recurso 1

Leyes y Causas por VSauce: https://www.youtube.com/watch?v=_WHRWLnVm_M

Recurso 2:

Girando por Vsauce. https://www.youtube.com/watch?v=XHGKIzCcVa0