Derivación de la tasa de precesión de un giroscopio de rueda [cerrado]

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Derivación de la tasa de precesión de un giroscopio de rueda [cerrado]

esfuerzo de torsión
Física
giroscopios
precesión
dinámica-rotacional
deberes-y-ejercicios

Abhinav PB

Busqué en la web y todo lo que pude encontrar es la tasa de precesión de un trompo. Pero lo que quiero es la derivación de la tasa de precesión de una rueda que cuelga de una cuerda, como se muestra a continuación:

que es tomado de este video .

El profesor Walter Lewin dice en su video que

ω_{precesión} = \frac{τ}{L_{girar}}

$\omega_{\text{precession}} = \frac{\tau}{L_{\text{spin}}}$

Pero la derivación no se da en ese video. Así que sería muy apreciado si alguien me da la derivación.

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Derivación de la tasa de precesión de un giroscopio de rueda [cerrado]

AlgúnUsuario · Answer 1

Hay una forma más formal/mecánica de hacerlo, pero creo que esto podría ser lo suficientemente simple y correcto. También podría haber una forma más directa de hacerlo.

Usaré coordenadas cilíndricas.

Sabemos que el torque (sobre el origen es) es

\vec{τ} = τ \hat{ϕ}

$\begin{equation} \vec{\tau} = \tau \, \hat{\phi} \end{equation}$ También sabemos, debido a que es un trompo plano y simétrico, que la velocidad angular del cuerpo es paralela al momento angular del cuerpo. Entonces,

\vec{L} = L \hat{ρ} .

$\begin{equation} \vec{L} = L \, \hat{\rho} \text{.} \end{equation}$ La relación entre el momento angular y el par es

\frac{d}{d t} \vec{L} = \vec{τ} .

$\begin{equation} \frac{d}{dt} \vec{L} = \vec{\tau} \text{.} \end{equation}$ Tenga en cuenta que la magnitud del momento angular es constante, ya que tanto el par como el momento angular son perpendiculares todo el tiempo.

\begin{aligned} L \frac{d}{d t} \hat{ρ} & = τ \hat{ϕ} \\ L (\frac{d}{d t} \hat{ρ}) \cdot \hat{ϕ} & = τ \\ (\dot{ϕ} \hat{ϕ}) \cdot \hat{ϕ} & = \frac{τ}{L} \\ \dot{ϕ} & = \frac{τ}{L} \end{aligned}

$\begin{align} L \frac{d}{dt} \hat{\rho} &= \tau \hat{\phi} \\ L \left(\frac{d}{dt} \hat{\rho}\right) \cdot \hat{\phi} &= \tau \\ \left(\dot{\phi}\hat{\phi}\right) \cdot \hat{\phi} &= \frac{\tau}{L} \\ \dot{\phi} &= \frac{\tau}{L} \end{align}$ Desde

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ es constante (ambos

τ

$\tau$ y

L

$L$ son), los llamamos

ω_{precession}

$\omega_{\text{precession}}$ .

Parece que esto es incorrecto. Debido a que la dirección del movimiento de precesión está en la dirección del par, pero la dirección de la velocidad angular de precesión es perpendicular al par y al momento angular, $\vec v=\vec\omega \times\vec r$ .
Velocidad angular de precesión $\mathbf{\omega}_{\text{press.}} \propto \hat{z}$ es perpendicular tanto al par ( $\hat{\phi}$ ) y momento angular ( $\hat{\rho}$ ). Entiendo que por "movimiento de precesión" quieres decir $\mathbf{\omega}_{\text{press.}} \times \mathbf{r} \propto \hat{\phi}$ , en cuyo caso estoy de acuerdo en que tiene la misma dirección que el par. No veo cuál es tu punto, pensó. ¿Podrías señalar qué paso te parece incorrecto?
Usted escribió arriba, $\tau$ es en $\hat\phi$ dirección. En los dos últimos pasos, dedujo la velocidad angular previa en la misma dirección que el par, mientras que es perpendicular tanto al par como al momento angular.
$\tau$ es de hecho en $\hat{\phi}$ dirección. Las últimas tres ecuaciones son ecuaciones escalares sobre sus magnitudes, no vectoriales. yo no escribi $\vec{\omega}_{\text{press.}} \propto \vec{\tau}$ , si eso es lo que quieres decir.
$\tau$ es en $\phi$ dirección de . $L$ es en $\rho$ . En la dirección del par es $v$ entonces, $\vec\omega=\frac{v}{\rho}(\hat\rho\times \hat\phi)$ . Entonces, la velocidad angular de precesión está en dirección perpendicular a $\phi$ y $\rho$ , que es la dirección vertical o $\hat z$ .
Sí, estoy de acuerdo y nunca he dicho lo contrario. Nuevamente, las últimas tres ecuaciones no son vectoriales sino escalares (tomé el producto interno). Es decir, están relacionando la magnitud de la cantidad vectorial velocidad angular de precesión con las magnitudes de las cantidades vectoriales momento angular y torque.

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Abhinav PB

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