Perfil de velocidad de una onda viscosamente amortiguada

Question

Perfil de velocidad de una onda viscosamente amortiguada

nluigi

Para un caso de prueba, quiero determinar el perfil de velocidad de una onda estacionaria viscosamente amortiguada.

Linealizando la densidad ( $\rho=\rho_0+\rho'$ ) y velocidad ( $ux=ux'$ ), las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes dan como resultado, respectivamente:

\begin{aligned} (1) & \partial_{t} ρ^{'} + ρ_{0} \partial_{X} {tu}_{X}^{'} & = 0 \\ (2) & \partial_{t}^{2} ρ^{'} & = \partial_{X}^{2} ρ^{'} C_{s}^{2} + v \partial_{t} \partial_{X} ρ^{'} \end{aligned}

$\begin{align} \partial_t\rho' + \rho_0\partial_xu_x' &= 0 \tag{1} \\ \partial_t^2\rho' &= \partial_x^2\rho'c_s^2 + \nu\partial_t\partial_x\rho' \tag{2} \end{align}$

El $c_s$ es solo una constante que indica que estamos tratando con un término de presión ideal ( $p=\rho c_s^2$ )

Una solución para la densidad de $(2)$ es dado por:

ρ = ρ_{0} + Δ ρ pecado (k_{X} X) porque (ω_{i} t) Exp (- ω_{r} t)

$\rho=\rho_0+\Delta\rho\sin(k_xx)\cos(\omega_it)\exp(-\omega_rt)$

dónde

k_{X} = 2 π / {norte}_{X}, ω_{r} = \frac{1}{2} k_{X}^{2} v, ω_{i} = k_{X} C_{s} \sqrt{1 - {(\frac{1}{2} \frac{k_{X} v}{C_{s}})}^{2}} .

$k_x=2\pi/n_x, \quad \omega_r=\frac{1}{2}k_x^2\nu, \quad \omega_i=k_xc_s\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\frac{k_x\nu}{c_s} \right)^2} \, .$

Ahora quiero determinar la velocidad; parece fácil de usar $(1)$ Llegar

\partial_{X} {tu}_{X}^{'} = - \partial_{t} ρ^{'} / ρ_{0} = \frac{△ ρ}{ρ_{0}} pecado (k_{X} X) [ω_{r} porque (ω_{i} t) - ω_{i} pecado (ω_{i} t)] Exp (- ω_{r} t)

$\partial_xu_x'=-\partial_t\rho'/\rho_0=\frac{\triangle\rho}{\rho_{0}}\sin\left(k_{x}x\right)\left[\omega_{r}\cos\left(\omega_{i}t\right)-\omega_{i}\sin\left(\omega_{i}t\right)\right]\exp\left(-\omega_{r}t\right)$

e integrar para obtener

{tu}_{X}^{'} = - \frac{1}{k_{X}} \frac{△ ρ}{ρ_{0}} porque (k_{X} X) [ω_{r} porque (ω_{i} t) - ω_{i} pecado (ω_{i} t)] Exp (- ω_{r} t) + k

$u_{x}'=-\frac{1}{k_{x}}\frac{\triangle\rho}{\rho_{0}}\cos\left(k_{x}x\right)\left[\omega_{r}\cos\left(\omega_{i}t\right)-\omega_{i}\sin\left(\omega_{i}t\right)\right]\exp\left(-\omega_{r}t\right)+K$

dónde $K$ es una constante de integración. Mi enfoque fue determinar $K$ estableciendo la velocidad cero en un antinodo (en $x=n_x/4$ ), Llegar

{tu}_{X}^{'} = - \frac{1}{k_{X}} \frac{△ ρ}{ρ_{0}} porque (k_{X} X) [ω_{r} porque (ω_{i} t) - ω_{i} pecado (ω_{i} t)] Exp (- ω_{r} t) .

$u_{x}'=-\frac{1}{k_{x}}\frac{\triangle\rho}{\rho_{0}}\cos\left(k_{x}x\right)\left[\omega_{r}\cos\left(\omega_{i}t\right)-\omega_{i}\sin\left(\omega_{i}t\right)\right]\exp\left(-\omega_{r}t\right) \, .$

Sin embargo, comparando la simulación con la solución analítica parece que la amplitud de la velocidad es mucho mayor en la simulación.

¿Es correcto mi enfoque descrito anteriormente?

nluigi

¿Nadie tiene ideas o consejos?

bernardo

Solo algunos pensamientos. Si

u_{x}^{'}

$u'_x$ es una perturbación, ¿por qué

K

$K$ ser distinto de cero? ¿Entiendo bien que tienes condiciones periódicas? Supongo que no linealizó su simulación, entonces, ¿qué tan convencido está de que la linealización está justificada? ¿Es la amplitud realmente la única diferencia entre su análisis analítico y numérico (es decir, normalizado tiene acuerdo?)

nluigi

@Bernhard, tienes razón en eso

K

$K$ es cero... no me habia dado cuenta

\cos (k_{x} n_{x} / 4) = 0

$\cos(k_xn_x/4)=0$ . De hecho, tengo condiciones de contorno periódicas. En mi simulación hago cumplir

Δ ρ / ρ 0 ≪ 1

$\Delta\rho/\rho0\ll1$ , que supongo que es justificación suficiente para linealizar el modelo.

honeste_vivere

Para obtener la solución a la ecuación 2, ¿estás asumiendo

\partial_{t} \to - i ω

$\partial_{t} \rightarrow -i \omega$ y

\partial_{t} \to i k_{x}

$\partial_{t} \rightarrow i k_{x}$ ? Además, ¿cómo se define

Δ ρ

$\Delta \rho$ ? ¿Es la diferencia entre lo perturbado y lo imperturbable o lo total y lo imperturbable?

nluigi

Asumo

ρ^{'}

$\rho'$ es separable en

ρ^{'} = f (x) g (t)

$\rho'=f(x)g(t)$ Llegar

\frac{1}{f + \partial_{t} f} \partial_{t}^{2} f = \frac{1}{g} \partial_{x}^{2} g = - k^{2}

$\frac{1}{f+\partial_tf}\partial_t^2f=\frac{1}{g}\partial_x^2g=-k^2$ . Para

g (x)

$g(x)$ sigue:

g (x) = A \sin (k_{x} x) + B \cos (k_{x} x)

$g(x)=A\sin(k_xx)+B\cos(k_xx)$ . Para

f (t)

$f(t)$ asumo una forma

f (t) = \exp (- ω t)

$f(t)=\exp(-\omega t)$ , lo que conduce a una ecuación cuadrática para

ω

$\omega$ :

ω^{2} - k^{2} (ω - 1) = 0

$\omega^2-k^2(\omega-1)=0$ . Como es una onda estacionaria, puedo descomponer

ω

$\omega$ en:

ω = ω_{r} + i ω_{i}

$\omega=\omega_r+i\omega_i$ y encontrar que

o m e g a_{r} = \frac{1}{2} k^{2}

$omega_r=\frac{1}{2}k^2$ y

ω_{i} = \pm \sqrt{1 - (\frac{1}{2} k)^{2}}

$\omega_i=\pm\sqrt{1-(\frac{1}{2}k)^2}$ . Desde

ω

$\omega$ es complejo, se sigue que:

f (t) = \cos (ω_{i} t) \exp (- ω_{r} t)

$f(t)=\cos(\omega_it)\exp(-\omega_rt)$

nluigi

@honeste_vivere se define como la diferencia entre lo perturbado y lo imperturbable

Respuestas (2)

Perfil de velocidad de una onda viscosamente amortiguada

Solo algunos pensamientos. Si $u'_x$ es una perturbación, ¿por qué $K$ ser distinto de cero? ¿Entiendo bien que tienes condiciones periódicas? Supongo que no linealizó su simulación, entonces, ¿qué tan convencido está de que la linealización está justificada? ¿Es la amplitud realmente la única diferencia entre su análisis analítico y numérico (es decir, normalizado tiene acuerdo?)
@Bernhard, tienes razón en eso $K$ es cero... no me habia dado cuenta $\cos(k_xn_x/4)=0$ . De hecho, tengo condiciones de contorno periódicas. En mi simulación hago cumplir $\Delta\rho/\rho0\ll1$ , que supongo que es justificación suficiente para linealizar el modelo.
Para obtener la solución a la ecuación 2, ¿estás asumiendo $\partial_{t} \rightarrow -i \omega$ y $\partial_{t} \rightarrow i k_{x}$ ? Además, ¿cómo se define $\Delta \rho$ ? ¿Es la diferencia entre lo perturbado y lo imperturbable o lo total y lo imperturbable?
Asumo $\rho'$ es separable en $\rho'=f(x)g(t)$ Llegar $\frac{1}{f+\partial_tf}\partial_t^2f=\frac{1}{g}\partial_x^2g=-k^2$ . Para $g(x)$ sigue: $g(x)=A\sin(k_xx)+B\cos(k_xx)$ . Para $f(t)$ asumo una forma $f(t)=\exp(-\omega t)$ , lo que conduce a una ecuación cuadrática para $\omega$ : $\omega^2-k^2(\omega-1)=0$ . Como es una onda estacionaria, puedo descomponer $\omega$ en: $\omega=\omega_r+i\omega_i$ y encontrar que $omega_r=\frac{1}{2}k^2$ y $\omega_i=\pm\sqrt{1-(\frac{1}{2}k)^2}$ . Desde $\omega$ es complejo, se sigue que: $f(t)=\cos(\omega_it)\exp(-\omega_rt)$
@honeste_vivere se define como la diferencia entre lo perturbado y lo imperturbable

pwf · Answer 1

Asegúrese de haber normalizado todo correctamente tanto en las soluciones analíticas como numéricas para comparar manzanas con manzanas. Es $n_x$ la longitud de onda? Si es así, entonces el factor de $\cos\left(k_x\frac{n_x}{4} \right)$ es solo 0. Eso parece correcto, ya que $u'_x$ es entonces $\pi/2$ fuera de fase con $\Delta \rho$ , y la perturbación de la velocidad es simétrica. Intenta configurar $\omega_r = 0$ para una solución más transparente. De lo contrario, todo se ve bien con la solución analítica.

Cuando se normaliza, la solución analítica para la densidad se ve igual, excepto que después de un tiempo, la amplitud disminuye más rápido para la simulación. Voy a publicar los resultados en un poco para que quede más claro. Desafortunadamente, debido a la naturaleza de la simulación, no puedo configurar $\omega_r=0$ sin establecer también $\omega_i=0$ .
Me parece poco probable que la dependencia del tiempo sea otra cosa que la $exp(-\omega_r t)$ tiene en la solución analítica, por lo que buscaría un error en el código. También verifique el comportamiento a largo plazo: los efectos no lineales deberían volverse mínimos más adelante, incluso si cambian la dinámica del tiempo antes. ¿Por qué no puedes establecer $\nu = 0$ ? Alternativamente, ¿puede intentar eliminar el término no lineal en el código y ver si obtiene un mejor acuerdo?
También me parece poco probable, lo único que puede ser es la forma derivada de $\omega_r$ Es incorrecto. Estoy bastante seguro de que los efectos no lineales (quieres decir debido a $u\partial_x u$ ¿verdad?) están ausentes. En realidad, no estoy resolviendo las ecuaciones de continuidad y Navier-Stokes usando herramientas CFD estándar, sino usando métodos de Lattice Boltzmann. Intrínsecamente, no puedo establecer $\nu=0$ porque en ese límite la dinámica es indefinida.

nick p · Answer 2

Yo abordaría la discusión teórica de manera diferente.

Primero considere ondas no viscosas irrotacionales, gobernadas por la ecuación de Laplace en el interior, es decir

\nabla^{2} ϕ = 0

$\nabla^2 \phi = 0$ dónde

ϕ = ϕ (x, z, t)

$\phi=\phi(x,z,t)$ es el potencial de velocidad,

z

$z$ es la vertical y

x

$x$ la dirección horizontal.

Las condiciones de contorno para las ondas de agua, en ausencia de viscosidad, son

ϕ_{t} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + gramo z = 0; η_{t} + ϕ_{X} η_{X} = ϕ_{z} @ z = η;

$\phi_t+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 +gz =0;\quad \eta_t+\phi_x\eta_x = \phi_z \quad @z=\eta;$

dónde $\eta$ es el desplazamiento de la superficie libre, y ambas condiciones de contorno se evalúan en la superficie libre. Finalmente, tenemos $\phi_z=0$ en $z=-h$ , con $h$ la profundidad del agua, tomada para tender hacia el infinito. Tenga en cuenta que la ecuación gobernante es lineal, pero las condiciones de contorno no son lineales y, lo que es más sorprendente, se evalúan en una variable dependiente del sistema. La última de las cuales es la razón por la que estas ecuaciones son muy difíciles de resolver.

Ahora, una onda estacionaria lineal se puede considerar como dos ondas viajeras opuestas de igual amplitud y frecuencia. Llevar $\omega$ ser la frecuencia angular, y $k$ el número de onda, entonces es fácil mostrar que las condiciones de contorno linealizadas junto con la ecuación de Laplace implican

ϕ = \frac{a ω}{k} porque k X pecado ω t {mi}^{k z}; η = a porque k X porque ω t

$\phi = \frac{a\omega}{k} \cos kx \sin\omega t\ e^{kz}; \quad \eta=a\cos kx \cos \omega t$

dónde $\omega=\sqrt{gk}$ .

Ahora, para agregar viscosidad.

El movimiento descrito anteriormente puede existir incluso con viscosidad si aplicamos las siguientes tensiones superficiales normales y tangenciales:

\vec{F} \cdot \hat{z} = - pag + 2 m \frac{\partial v}{\partial y} = - pag + 2 m k^{2} \frac{a ω}{k} porque k X pecado ω t {mi}^{k z}

$\vec{F}\cdot \hat{z} =-p +2\mu \frac{\partial v}{\partial y} = -p+2\mu k^2\frac{a\omega}{k}\cos kx \sin \omega t\ e^{kz}$ y

\vec{F} \cdot \hat{X} = m (\frac{\partial v}{\partial X} + \frac{\partial tu}{\partial y}) = - 2 m k^{2} a \frac{ω}{k} pecado k X pecado ω t {mi}^{k z}

$\vec{F}\cdot \hat{x} = \mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)= -2\mu k^2 a\frac{\omega}{k} \sin kx \sin \omega t\ e^{kz}$

con $\mu$ la viscosidad dinámica y $(u,v)=(\phi_x,\phi_z)$ . Por lo tanto, el trabajo realizado por estas fuerzas, promediado sobre una longitud de onda y sobre un período de onda

\frac{1}{T} \frac{1}{λ} \int_{0}^{T} \int_{0}^{λ} \vec{tu} \cdot \vec{F} d X = m k^{2} a^{2},

$\frac{1}{T}\frac{1}{\lambda} \int_0^T\int_0^{\lambda} \vec{u}\cdot \vec{F} dx =\mu k^2 a^2,$

donde suponemos que la amplitud de la onda varía lentamente en comparación con la frecuencia de la onda.

Luego, la energía total en una onda estacionaria es $E=\frac{1}{2} \rho g a^2$ , de modo que en ausencia de fuerzas superficiales, debemos tener

\frac{d}{d t} mi = 2 m k^{2} a^{2} ω ⟹ a = a_{o}^{- v k^{2} t} .

$\frac{d}{dt}E = 2\mu k^2 a^2 \omega \implies a=a_o^{-\nu k^2t}.$

Notemos que la viscosidad cinemática $\nu =\mu/\rho$ es mucho más efectivo para aniquilar ondas más cortas, como ingenuamente esperaríamos de la forma de disipación dada en las ecuaciones de Navier Stokes.

El perfil teórico de la superficie libre y el potencial de velocidad son

η = a_{o}^{- v k^{2} t} porque k X porque ω; ϕ = \frac{a_{o}^{- v k^{2} t} ω}{k} porque k X pecado ω .

$\eta= a_o^{-\nu k^2t}\cos kx \cos \omega ; \quad \phi =\frac{a_o^{-\nu k^2t} \omega}{k}\cos kx \sin \omega .$

y finalmente los campos de velocidad son

(tu, v) = a_{o}^{- v k^{2} t} ω pecado ω t {mi}^{k z} (- pecado k X, C o s k X) .

$(u,v) = a_o^{-\nu k^2t} \omega\sin \omega t \ e^{kz} (-\sin kx, cos kx).$

Referencia: Cordero (1932, $\S$ 348)

¡Gracias por la referencia y me gusta su solución para las ondas superficiales estacionarias bidimensionales! Sin embargo, si bien se trata de ondas estacionarias, solo está remotamente relacionado con mi pregunta que trata sobre una onda estacionaria viscosamente amortiguada unidimensional basada en la continuidad linealizada y las ecuaciones de Navier-Stokes. En mi caso, ahora también está presente el término de gravedad.

Perfil de velocidad de una onda viscosamente amortiguada

nluigi

nluigi

bernardo

nluigi

honeste_vivere

nluigi

nluigi

Respuestas (2)

pwf

nluigi

pwf

nluigi

nick p

nluigi

Ley de Stokes proporcionalidad al radio

¿Cómo puede un gas soportar esfuerzos de tracción?

¿Cómo modelar el amortiguamiento realista (térmico y viscoso) en el problema de dispersión de fluido-gas?

¿Existe una solución analítica para el flujo de fluidos en un conducto cuadrado?

Interpretación de la escala de tiempo L2/νL2/νL^2/\nu

Ley de Stokes en 2 dimensiones

Viscosidad y balance de energía

Ondas en el agua generadas por la caída de un objeto

¿Por qué Anderson ignora una derivada de una tensión viscosa normal?

Término de fricción en la ecuación de Navier-Stokes