Ondas en el agua generadas por la caída de un objeto

Esto es crudo.

Tal vez pueda haber un enfoque energético. Inicialmente la masa tiene energía potencial$T=m g h$. En el punto de salpicadura máxima, supongamos que toda la energía se ha transferido al agua con energía potencial máxima relacionada con la función de altura de onda radial$y(r)=?$. Un pequeño volumen de agua a distancia$r$del impacto tiene volumen diferencial${\rm d}V = y(r) 2\pi r {\rm d}r$.

La energía potencial del pequeño volumen de agua es${\rm d}T = \rho g \frac{y}{2} {\rm d}V$dónde$\rho$es la densidad del agua. La energía total es así:

$$T = \int_0^\infty \rho g \frac{y(r)^2}{2} 2\pi r {\rm d} r$$

Poniendo una buena función de altura de onda suave de

$$y(r) = Y \exp(-\beta\, r) \left(\cos(\kappa\, r) +\frac{\beta}{\kappa} \sin(\kappa\, r)\right)$$ con$Y$un coeficiente de altura. Esto tiene las propiedades de${\rm d}y/{\rm d}r=0$en$r=0$con$y(0)=Y$.

$$T = \frac{\pi Y^2 g \rho \left(9 \beta^4+2 \beta^2 \kappa^2+\kappa^4\right)}{8 \beta^2 \left( \beta^2+\kappa^2 \right)^2 } = m g h$$

Entonces la altura de la ola debería ser

$$Y = \propto \sqrt{ \frac{h m}{\rho \pi }}$$

No existe una relación simple entre el tamaño de la salpicadura y la velocidad del impacto. Modelar salpicaduras resulta ser algo sorprendentemente difícil de hacer. El problema es que la respuesta del agua al objeto que cae está descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes , y aparte de algunos casos simples, estos son diabólicamente difíciles de resolver.

Busqué rápidamente en Google y encontré varios experimentos escolares en los que los alumnos midieron la altura de las salpicaduras en función de la velocidad del impacto. Lo más cercano que encontré a una descripción completa es esta tesis doctoral .

Si echas un vistazo en Youtube, hay muchos videos de salpicaduras en cámara lenta.

Solo quiero agregar una cosa. Creo que el único razonamiento que podemos hacer sin resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, ni hacer experimentos, es un cálculo de análisis dimensional.

(Sugiero estas notas sec 3.6 pag.83 para un tratamiento completo de este enfoque).

Los parámetros físicos que tenemos son la densidad del agua, la densidad de la pelota (tenemos su masa y volumen), la velocidad de la pelota golpeando la superficie del flujo (a través de la conservación de la energía cinética, asumiendo que no hay resistencia del aire), y la viscosidad del agua. Entonces:

$$\rho_b=m/V,\ \ mgh=\frac{1}{2}mv_b^2 \Longrightarrow v_b=\sqrt{2gh}$$

El único grupo de estos parámetros que tiene las dimensiones de una longitud es:

$$\left(\frac{\rho_b}{\rho_w}\right)^\alpha\frac{\mu}{v_b}=\left( \frac{m}{\rho_wV}\right)^\alpha \frac{\mu}{\sqrt{2gh}}$$

con arbitraria$\alpha$. Entonces no podemos estimar ni el valor de la amplitud, ni la frecuencia de la onda con solo este argumento, y deberíamos resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en este caso particular (como se dijo en la respuesta anterior, esto es posible solo en algunos casos especiales). Por tanto, podemos limitarnos a enunciar la dependencia de algunos parámetros físicos, salvando la arbitrariedad sobre la potencia del número adimensional$\rho_b/\rho_w$.