¿Existe una solución analítica para el flujo de fluidos en un conducto cuadrado?

La ecuación es correcta: el flujo (laminar) en un número de Reynolds pequeño se obtiene al hacer que el flujo sea a lo largo de la tubería y sustituirlo en las ecuaciones de Navier Stokes, lo que se reduce a lo tuyo. El único problema es la señal---$\Delta P$es negativo si quiere decir que el flujo va a estar en la dirección z positiva. Absorberé las constantes y consideraré el problema en el cuadro [-1,1]x[-1,1].

No existe una solución analítica en funciones elementales para esto, porque el problema es equivalente a resolver la ecuación de Laplace con ciertas condiciones de contorno de Dirichlet en el cuadrado. Pero hay una serie simple y rápidamente convergente que te da la respuesta.

la ecuacion es

Donde A es el gradiente de presión (negativo) sobre la viscosidad, en unidades de longitud donde el tamaño de la caja es 2. Para resolver esto, primero tenga en cuenta que la función cuadrática

funciona, pero no satisface las condiciones de contorno. Este flujo (más una constante) da el perfil de flujo laminar del cilindro parabólico, satisface el deslizamiento en el círculo de radio$\sqrt{2}$, tocando apenas las esquinas del cuadrado. tu reemplazas$\phi$por$\phi_0 - {A\over 4} \phi$, y el nuevo$\phi$satisface la ecuación de Laplace:

con las condiciones de contorno

Entonces necesitas resolver el problema de Dirichlet en el cuadrado. En principio, el interior del cuadrado unitario se puede mapear conforme al círculo, pero la transformación es fea. Así que lo mejor es dar una aproximación directa.

Escribe$\phi$como la parte real de una función analítica$f(z)$, dónde$z=x+iy$. La simetría del problema te dice que la parte real de$f(iz)$es la parte real de$f(z)$, de modo que (por analiticidad)$f(iz)=f(z)$y la función analítica f es una expansión en potencias de$z^4$.

Entonces sabes que en el límite,$f(1+iy) = 1 - y^2$, y esto fija los coeficientes. Para el orden no trivial más bajo, solo mantienes la constante y la$z^4$término, y usted encuentra

Lo que da (simplemente igualando los términos de menor orden)$a_1 = 1/6$y$a_0 = 5/6$. El flujo es entonces, de orden cuartico:

Esta no es una gran aproximación, pero puede ir al orden 8, al orden 12 o al orden 16 y hacer lo mismo para obtener aproximaciones polinómicas al flujo de cualquier orden.

Debo agregar que hay una solución que converge lentamente por expansión en modos de caja, y obedece a las condiciones de contorno pero es inferior al método analítico anterior --- la serie de Fourier de una función constante solo cae como 1/n.

Sí, existe una solución analítica exacta para esta ecuación diferencial parcial de Poisson. El problema bien conocido es el flujo laminar en estado estacionario en conductos rectangulares. La solución se da en las siguientes referencias: Shah RK y London (1978) Convección forzada laminar en conductos, Academic Press. Timoshenko y Goodier (1970) Teoría de la elasticidad Mc Graw-Hill