¿Por qué Anderson ignora una derivada de una tensión viscosa normal?

Question

¿Por qué Anderson ignora una derivada de una tensión viscosa normal?

Física
viscosidad
aerodinámica
navier-stokes
dinámica de fluidos

dat

Estoy leyendo "Fundamentos de aerodinámica" 5ª edición, JDAnderson. En la parte 15.6, dijo:

Considere un flujo constante, bidimensional, viscoso y comprimible. La ecuación de la cantidad de movimiento x para tal flujo viene dada por la ecuación (15.19a), que para el presente caso se reduce a:
$\begin{aligned} (15.27) & ρ tu \frac{\partial tu}{\partial X} + ρ v \frac{\partial tu}{\partial y} = - \frac{\partial pag}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial y} [m (\frac{\partial v}{\partial X} + \frac{\partial tu}{\partial y})] \end{aligned}$ $\begin{align} \rho u \frac{\partial u}{\partial x} + \rho v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial y} \left[ \mu \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right] \tag{15.27} \end{align}$

la ecuación (15.19a) es:

\begin{aligned} ρ \frac{\partial tu}{\partial t} + ρ tu \frac{\partial tu}{\partial X} + ρ v \frac{\partial tu}{\partial y} + ρ w \frac{\partial tu}{\partial z} = \\ (15.19a) & - \frac{\partial pag}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial X} [λ \nabla \cdot V + 2 m \frac{\partial tu}{\partial X}] + \frac{\partial}{\partial y} [m (\frac{\partial v}{\partial X} + \frac{\partial tu}{\partial y})] + \frac{\partial}{\partial z} [m (\frac{\partial tu}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial X})] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho u \frac{\partial u}{\partial x} + \rho v \frac{\partial u}{\partial y} + \rho w \frac{\partial u}{\partial z} =\\ &- \frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial }{\partial x} \left[ \lambda\boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{V} + 2\mu\frac{\partial u }{\partial x} \right] + \frac{\partial }{\partial y} \left[ \mu \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right] + \frac{\partial }{\partial z} \left[ \mu \left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \right] \tag{15.19a} \end{align}$

Traté de eliminar algunos términos, pero el segundo término (de hecho, es $\partial \tau_{xx}/\partial x$ ) en el RHS parece no ser igual a cero para tal caso. ¿Sabes por qué el autor ignora este término?

Chet Miller

Alude al "presente caso". ¿Cuál es exactamente el presente caso que él está viendo?

dat

@miller se ha declarado el caso: "considere un flujo constante bidimensional, viscoso y comprimible". Si quieres asegurarte, aquí tienes avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… y mira el comienzo de la parte 15.6

Chet Miller

Parece que él (tácitamente) está despreciando la derivada de

τ_{x x}

$\tau_{xx}$ con respecto a x en comparación con la derivada de

τ_{x y}

$\tau_{xy}$ con respecto a y. Esta es una aproximación que es precisa en los flujos de la capa límite, como el que se está considerando, donde el flujo principal es paralelo a la pared y la velocidad axial varía rápidamente con la distancia desde la pared, pero, debido a la condición de límite sin deslizamiento, varía muy gradualmente (o, en el límite, no varía en absoluto) con la distancia a lo largo de la pared.

tpg2114

@ChesterMiller Ese fue mi pensamiento también cuando volví a leer el capítulo. Y las ecuaciones son las mismas en las ediciones 3 y 4, siento que se habría detectado si fuera un error.

Chet Miller

No, tu pensamiento fue definitivamente correcto. Este es un enfoque estándar para resolver problemas de capa límite. Pero el autor debería haber sido más directo y centrado específicamente en las suposiciones y aproximaciones involucradas.

usuario197851

De acuerdo, al ver estos comentarios y la respuesta de nluigi, esa es más probable que sea la correcta que la mía.

dat

En la página siguiente, página 917, hay otro ejemplo y dijo "despreciando las tensiones normales". Debería haber dicho eso antes, tal vez en la próxima edición.

Respuestas (2)

¿Por qué Anderson ignora una derivada de una tensión viscosa normal?

Alude al "presente caso". ¿Cuál es exactamente el presente caso que él está viendo?
@miller se ha declarado el caso: "considere un flujo constante bidimensional, viscoso y comprimible". Si quieres asegurarte, aquí tienes avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… y mira el comienzo de la parte 15.6
Parece que él (tácitamente) está despreciando la derivada de $\tau_{xx}$ con respecto a x en comparación con la derivada de $\tau_{xy}$ con respecto a y. Esta es una aproximación que es precisa en los flujos de la capa límite, como el que se está considerando, donde el flujo principal es paralelo a la pared y la velocidad axial varía rápidamente con la distancia desde la pared, pero, debido a la condición de límite sin deslizamiento, varía muy gradualmente (o, en el límite, no varía en absoluto) con la distancia a lo largo de la pared.
@ChesterMiller Ese fue mi pensamiento también cuando volví a leer el capítulo. Y las ecuaciones son las mismas en las ediciones 3 y 4, siento que se habría detectado si fuera un error.
No, tu pensamiento fue definitivamente correcto. Este es un enfoque estándar para resolver problemas de capa límite. Pero el autor debería haber sido más directo y centrado específicamente en las suposiciones y aproximaciones involucradas.
De acuerdo, al ver estos comentarios y la respuesta de nluigi, esa es más probable que sea la correcta que la mía.
En la página siguiente, página 917, hay otro ejemplo y dijo "despreciando las tensiones normales". Debería haber dicho eso antes, tal vez en la próxima edición.

nluigi · Answer 1

Siguiendo con la respuesta de @LonelyProf, creo que no es tanto un error como una simplificación excesiva.

Anteriormente en la pág. 907 después de definir las tensiones viscosas, el autor continúa explicando:

Una vez más, las tensiones normales son importantes sólo cuando las derivadas $∂_xu$ , $∂_yv$ , y $∂_zw$ son muy grandes Para la mayoría de los problemas prácticos de flujo, $τ_{xx}$ , $τ_{yy}$ , y $τ_{zz}$ son pequeños, y de ahí la incertidumbre con respecto a $λ$ es esencialmente una cuestión académica. Un ejemplo donde la tensión normal es importante es dentro de la estructura interna de una onda de choque. Recuerde que, en la vida real, las ondas de choque tienen un espesor finito pero pequeño. Si consideramos una onda de choque normal a través de la cual ocurren grandes cambios en la velocidad en una pequeña distancia (típicamente 10-5 cm), entonces claramente $∂_xu$ será muy grande y $τ_{xx}$ cobra importancia dentro de la onda de choque.

La sección a la que se refiere OP es sobre análisis dimensional (similitud) y dentro de ese contexto el autor se refiere a:

fluye sobre dos cuerpos de diferentes formas...

Creo que podemos asumir con seguridad que estos cuerpos tienen un tamaño relativamente grande que, junto con la cita anterior, da como resultado la suposición de que:

τ_{X X} = λ \vec{\nabla} \cdot \vec{v} + 2 m \frac{\partial tu}{\partial X} \sim 0

$\tau_{xx} = \lambda\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+2\mu\frac{\partial u}{\partial x} \sim 0$

Creo que el autor asumió esto descaradamente sin prueba (por ejemplo, mediante análisis dimensional) y simplificó la expresión demasiado rápido. Ocurre a veces en la literatura técnica.

usuario197851 · Answer 2

Creo que esto debe ser un error en el libro. El autor afirma explícitamente anteriormente en el capítulo que está tomando $\lambda=-\frac{2}{3}\mu$ (Stokes). Entonces uno sustituye esto en la ecuación (15.19a) y obtiene el $x$ -componente de la ecuación estándar de Navier-Stokes, que me parece correcta. Y, lo que es más importante, ¡el segundo término a la derecha de la ecuación (15.19a) no desaparece, en general!

(A menudo, esta ecuación se escribe sin hacer la suposición $\lambda=-\frac{2}{3}\mu$ , pero la forma matemática se hace igual definiendo $\zeta=\lambda+\frac{2}{3}\mu$ y redefiniendo la presión $p\rightarrow p-\zeta\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{V}$ . Así que esta no es la fuente del problema).

No veo ninguna suposición que no sea "flujo constante bidimensional, viscoso y comprimible", por lo que no parece haber ninguna razón física para que se elimine el término en cuestión. Supongo que se omitió por accidente. La gracia salvadora es que la sección 15.6 solo se ocupa de los argumentos dimensionales.

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