Período TTT de oscilación con función de fuerza cúbica

Empezando desde

$$\frac{1}{2} \left( v(x)^2 - v_0^2 \right)= - \frac{c}{m} x^4$$

con velocidad inicial$v_0$cuando$x=0$, la relación de tiempo es

$$t = \int_0^x \frac{1}{v(x)}\,{\rm d} x$$

Yo uso en variable intermedia$\xi$por distancia$x = \sqrt[4]{\frac{2 m v_0^2}{c}}\, \xi$.

Integro la relación energética para obtener

$$t = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{v_0^2 - \frac{c x^4}{2 m} }} \,{\rm d} x=\sqrt[4]{ \frac{2 m}{c v_0^2} } \int_0^\xi \frac{1}{\sqrt{1-\xi^4}}\,{\rm d} \xi$$

$$t = \sqrt[4]{ \frac{2 m}{c v_0^2} }\; {\rm EllipticF}( \sin^{-1}\xi, -1)$$

Tenga en cuenta que la integral elíptica tiene una expansión de Taylor de

$${\rm EllipticF}(x,m) \approx x + \frac{m}{6} x^3 - \frac{m}{30} x^5 + \ldots$$

lo que hace que la solución anterior sea aproximada (para pequeños desplazamientos)

$$t = \frac{ \tau}{2\pi} \; \sin^{-1}\xi$$

con punto$\tau = 2 \pi \sqrt[4]{ \frac{2 m}{c v_0^2} }$y solucion final

$$x = \sqrt[4]{\frac{2 m v_0^2}{c}}\,\sin \left( \frac{2 \pi t}{\tau} \right)$$

Desde

$$\frac1 2mv^2+U(x)=U(A)$$ Tenemos $$dt=\frac{dx}v=\frac{dx}{\sqrt{2(U(A)-U(x))/m}}=\frac{dx}{\sqrt{c(A^4-x^4)/(2m)}}$$ Entonces $$\frac T4=\int_0^{\frac T4}dt=\int_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{c}{2m}(A^4-x^4)}}$$ De este modo $$T=4\int_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{c}{2m}(A^4-x^4)}}$$