¿Ecuaciones de movimiento para un péndulo esférico? [cerrado]

Question

¿Ecuaciones de movimiento para un péndulo esférico? [cerrado]

áspera

Estoy tratando de resolver las ecuaciones de movimiento para simular un péndulo esférico . Decidí usar las coordenadas esféricas. La ecuación de Lagrange es,

L = T - V = \frac{1}{2} metro {(L \dot{θ})}^{2} + \frac{1}{2} metro {(L pecado θ \dot{ϕ})}^{2} - (- metro gramo L porque θ),

$L=T-V=\frac{1}{2}m\left(L\dot\theta\right)^2+\frac{1}{2}m\left(L\sin\theta\dot\phi\right)^2-\left(-mgL\cos\theta\right),$

dónde $L$ es la longitud de la cuerda, $ϕ$ es el ángulo de proyección de la cuerda sobre $x$ - $y$ avion con $x$ -eje y $θ$ es el ángulo con el $-z$ -eje

Resolví estas ecuaciones:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial L}{\partial θ} & = 0, \\ \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}}) - \frac{\partial L}{\partial ϕ} & = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta}&=0, \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\phi}\right)-\frac{\partial L}{\partial\phi}&=0, \end{align}$

y tengo

\ddot{θ} = pecado θ porque θ {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{gramo}{L} pecado θ

$\ddot\theta=\sin\theta\cos\theta\dot\phi^2-\frac{g}{L}\sin\theta$ y

\frac{d}{d t} (metro L^{2} {pecado}^{2} θ \dot{ϕ}) = 0

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(mL^2\sin^2θ\dot\phi) = 0$ Esto parece que se conserva el cambio en el momento angular. Pero cuando lo resuelvo más

\ddot{ϕ} = - 2 \dot{ϕ} \dot{θ} cuna θ

$\ddot\phi = -2\dot\phi\dot\theta\cot\theta$

Esto no tiene sentido para mí porque va al infinito cuando θ va a 0. ¿Alguna idea de lo que estoy haciendo mal?

Juan Alexiou

Para que quede claro, la posición de la masa en

\vec{r} = (L \cos ϕ \sin θ, L \sin ϕ \sin θ, - L \cos θ)

$\vec{r} = (L\cos\phi\sin\theta, L\sin\phi\sin\theta, -L\cos\theta)$ y la gravedad actuando en la dirección -z?

qmecanico

Sugerencias: 1. Vaya a la formulación Routhiana. 2. El

θ = 0

$\theta=0$ la singularidad proviene del potencial centrífugo.

Respuestas (1)

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Para que quede claro, la posición de la masa en $\vec{r} = (L\cos\phi\sin\theta, L\sin\phi\sin\theta, -L\cos\theta)$ y la gravedad actuando en la dirección -z?
Sugerencias: 1. Vaya a la formulación Routhiana. 2. El $\theta=0$ la singularidad proviene del potencial centrífugo.

Emilio Pisanty · Answer 1

Los casos con momento angular cero y distinto de cero deben tratarse por separado.

Si $\theta$ alguna vez cruza cero, entonces el momento angular en ese momento es cero. Por la ley de conservación significa que el momento angular se desvanece en todo momento. Esto implica que $\phi$ es constante y todas sus derivadas se anulan. (Eso significa que $\ddot\phi\propto\dot \phi\cot(\theta)$ no explota, porque ambos lados desaparecen.) En este caso, regresa al caso plano y debe resolverlo como tal, o tratar los cruces de positivo a negativo $\theta$ de manera cuidadosa.
Por otro lado, si el momento angular es distinto de cero, como debe suceder si $\dot\phi$ es alguna vez distinto de cero, entonces la partícula nunca puede cruzar el polo, y su ecuación está perfectamente bien definida.

El esquema general para resolver esto es encontrar que $\ell=\sin^2\theta\ \dot\phi$ se conserva, y olvidarse de $\phi$ temporalmente. Sustituyendo esto en tu otra ecuación, obtienes una sola ecuación de segundo orden en $\theta$ ; una vez que resuelves esto obtienes automáticamente $\phi$ de integrar $\ell/\sin^2\theta$ . La ecuación para $\theta$ , sin embargo, cambia radicalmente de carácter según se trate de $\ell$ es cero o no: si no lo es, aparecerá una barrera de momento angular que detiene $\theta$ de llegar nunca a cero. ¡Pruébalo!

pero esto aún no aborda el hecho de que a medida que θ se acerca a 0, el valor se vuelve muy grande.
Pero si $\theta$ va cerca de cero, $\dot{\phi}$ también crecerá para compensar, que es lo que te dice la ley de conservación. Además, si su momento angular allí es cero inicialmente, entonces siempre será cero. Eso prácticamente te dice que empiezas en el $\theta = 0$ régimen o que $\dot{\phi} = 0$ siempre, dependiendo de sus condiciones iniciales.

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áspera

Juan Alexiou

qmecanico

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Emilio Pisanty

áspera

Emilio Pisanty

Webb

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