Pasando de la ecuación de Dirac como estudiante universitario

Question

Pasando de la ecuación de Dirac como estudiante universitario

Ayumu Kasugano

En mi clase de QM, estamos cubriendo los conceptos básicos para intentar conciliar QM con la relatividad especial. Por lo que entiendo, Dirac tomó la definición $E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ y lo usó para la ecuación de Schrödinger. Resulta que la forma que queremos es:

mi = C \vec{α} \cdot \vec{pag} + β metro C^{2}

$E=c\vec{\alpha}\cdot\vec{p}+\beta mc^2$ dónde

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ son matrices de 4x4. ¿Es esto un hamiltoniano? ¿Significa esto que simplemente escribo:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = E|\psi\rangle$ Parece incorrecto ya que no veo ningún término potencial.

Intenté mirar alrededor, y aparentemente este es un resultado de partículas de espín 1/2. ¿Cómo entró en juego el giro aquí y por qué 1/2? Sé que las matrices involucran las matrices de espín de Pauli, pero no puedo ver cómo surgió el espín. En esencia, realmente no sé qué hacer ahora con este resultado y cómo interpretar su significado. ¿Puedo obtener una explicación de nivel universitario (preferiblemente sin QFT) sobre lo que implica la ecuación de Dirac y cómo lo hace? Wikipedia dice que implica la existencia de antipartículas y esto suena muy interesante.

ryan thorngren

Puedes hacerlo sin giro, usando las matrices de Pauli 2x2 por ejemplo. Los dos grados de libertad se pueden considerar como la partícula y la antipartícula. Incluso puede eliminar eso eligiendo una base real para las matrices y restringiendo los componentes para que sean reales, lo que da como resultado la ecuación de Majorana.

Respuestas (1)

Pasando de la ecuación de Dirac como estudiante universitario

Puedes hacerlo sin giro, usando las matrices de Pauli 2x2 por ejemplo. Los dos grados de libertad se pueden considerar como la partícula y la antipartícula. Incluso puede eliminar eso eligiendo una base real para las matrices y restringiendo los componentes para que sean reales, lo que da como resultado la ecuación de Majorana.

usuario192234 · Answer 1

Esto es lo que sé:

La motivación de Dirac fue una ecuación mecánica cuántica para electrones que daría un tratamiento mucho más preciso de los espectros atómicos.

Sin entrar en tecnicismos matemáticos:

Sabemos que necesitamos al menos funciones de onda de 2 componentes para tratar con el $\frac{1}{2}$ espín de un electrón.
El objetivo principal es incorporar completamente SR. Un requisito son las transformaciones de paridad. resulta que el $(\frac{1}{2},0)$ representaciones transforma al otro, $(0,\frac{1}{2})$ bajo una transformación de paridad. Así que incluso si no quieres $4$ funciones de onda de componentes complejos, no tiene elección.

Sin embargo, esto hace que la ecuación sea capaz de expresar una multitud de representaciones con una sola ecuación.

Tome la ecuación de Klein-Gordon para una función escalar de una partícula de masa $m$ : $(\partial^2 + m^2)\psi=0$ .

Dirac quería una ecuación lineal. ¿Hay una "raíz cuadrada" de $(\partial^2 + m^2)$ ?

Elevando al cuadrado el ansatz da $( \frac{1}{2}\{\gamma ^ \mu , \gamma^{\nu} \} \partial_{\mu} \partial_{\nu} + m^2)\psi=0$

Para recuperar la ecuación original definida por Dirac $\{\gamma ^ \mu , \gamma^{\nu} \} = 2 \eta^{\mu \nu}$

Las resultantes son las matrices gamma y la ecuación lineal es
$(i γ^{m} \partial_{m} - metro) ψ = 0$ $(i\gamma ^ \mu \partial_\mu - m)\psi=0$ o $(i \partial / - metro) ψ = 0$ $(i \partial\!\!\!/ - m)\psi=0$ usando la conveniente notación de barra inclinada de Feynman.

Hay mucho más que decir y más formas de obtener la ecuación, pero usted pidió lo básico.

Pasando de la ecuación de Dirac como estudiante universitario

Ayumu Kasugano

ryan thorngren

Respuestas (1)

usuario192234

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