Explicación de la ecuación que muestra un enfoque fallido para relativizar la ecuación de Schrödinger

Pablo,

Esta redacción particular del problema en el artículo que siempre pensé que también era descuidada. La parte más confusa de la discusión es la declaración "La ecuación de continuidad es como antes". Primero se escribe la ecuación de continuidad como:

$$\nabla \cdot J + \dfrac{\partial\rho}{\partial t} = 0$$

Aunque el operador del puede definirse como de dimensión infinita, con frecuencia se reserva para tres dimensiones y, por lo tanto, la construcción de la oración no proporciona una interpretación clara. Si busca corriente conservada, encontrará la versión de 4 vectores de la ecuación de continuidad:

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

Lo importante de la derivación en el artículo de wikipedia es la conversión de la densidad no dependiente del tiempo a una densidad dependiente del tiempo, o más bien:

$$\rho = \phi^*\phi$$

se convierte

$$\rho = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*)$$

la intención es clara, el querer que el componente temporal tenga la misma forma que los componentes espaciales. La ecuación de la corriente es ahora:

$$J^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*)$$

que ahora contiene el componente de tiempo. Entonces la ecuación de continuidad que se debe usar es:

$$\partial_\mu J^\mu = 0$$

donde la capitalización de$J$parece ser una elección arbitraria en la derivación.

Uno puede verificar que esta es la intención al referirse al artículo sobre probabilidad actual .

De lo anterior puedo ver que la inserción repentina de la declaración de que uno puede elegir arbitrariamente

$$\psi$$ y $$\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$$ no esta bien explicado Esta parte del artículo también fue una fuente de confusión para mí hasta que me di cuenta de que el autor estaba tratando de llegar a una discusión sobre la ecuación de Klein Gordon.

Una búsqueda rápida en la web de "corriente de probabilidad y ecuación de klein gordan" encuentra buenos enlaces, incluido uno bueno del departamento de física de UC Davis . Si sigue la discusión en el documento, puede ver que confirma que el argumento realmente está tratando de llegar a una discusión sobre la ecuación de Klein Gordon y hacer la conexión con la densidad de probabilidad.

Ahora, si uno hace otra búsqueda rápida de "soluciones negativas a la ecuación de klein-gordan", puede encontrar un buen artículo del departamento de física de la Universidad de Ohio . Allí tenemos una buena discusión sobre la ecuación 3.13 en el documento que reitera que, cuando redefinimos la densidad, introdujimos cierta variabilidad adicional. Entonces la ecuación:

$$\rho = \dfrac{i\hbar}{2mc^2}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*)$$

(donde en el original, c se estableció en 1) realmente está en la raíz del problema (confirmando la intención en el artículo original). Sin embargo, probablemente todavía no satisface la pregunta,

"¿Alguien puede mostrarme por qué la expresión para la densidad no es definida positiva?",

pero si uno va de compras, puede encontrar el libro Quantum Field Theory Demystified de David McMahon (y hay algunas descargas gratuitas por ahí, pero no las vincularé por respeto al autor), y si vaya a la página 116 encontrará la discusión:

Recordando la solución de partículas libres

$$\varphi(\vec{x},t) = e^{-ip\cdot x} = e^{-i(Et- px)}$$ las derivadas temporales son $$\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = -iEe^{-i(Et- px)}$$ $$\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t} = iEe^{i(Et- px)}$$ Tenemos $$\varphi^*\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = e^{i(Et- px)}[-iEe^{-i(Et- px)}] = -iE$$ $$\varphi\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t} = e^{-i(Et- px)}[iEe^{i(Et- px)}] = iE$$ Entonces la densidad de probabilidad es $$\rho = i(\varphi^*\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} - \varphi\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t}) = i(-iE-iE) = 2E$$ Se ve bien hasta ahora, excepto por esas molestas soluciones de energía negativa. Recuerda eso $$E = \pm\sqrt{p^2+m^2}$$ En el caso de la solución de energía negativa $$\rho = 2E =-2\sqrt{p^2+m^2}<0$$ que es una densidad de probabilidad negativa, algo que simplemente no tiene sentido.

Con suerte, eso ayuda, la noción de una probabilidad negativa no tiene sentido porque definimos la probabilidad en el intervalo [0,1], por lo que, por definición, las probabilidades negativas no tienen significado. Este punto a veces se pierde en las personas cuando intentan dar sentido a las cosas, pero lógicamente cualquier discusión sobre probabilidades negativas no tiene sentido. Esta es la razón por la que QFT terminó reinterpretando la ecuación de Klein Gordan y reutilizándola para una ecuación que gobierna los operadores de creación y aniquilación .