Distribución de probabilidad de posición de una partícula en un pozo cuadrado infinito: clásica versus cuántica

La función de onda para una sola partícula en un pozo de potencial de ancho L está dada por la relación

Ψ norte ( X ) = 2 L pecado ⁡ ( k norte X )
dónde k norte es ( norte + 1 ) π / L y norte es un entero positivo.

Descripción Mecánica Cuántica de la Distribución de Probabilidad

La función de onda del estado fundamental tiene norte = 0 , entonces k norte = π / L y entonces Re ( Ψ 0 ( X ) ) pareceEstado fundamental WF

La distribución de probabilidad para esta función de onda es | Ψ 0 | 2 , el cual es un pecado 2 función y en el mismo dominio la gráfica esDistribución de probabilidad

Descripción mecánica clásica de la distribución de probabilidad

Considere el mismo problema clásicamente: una partícula está en la caja con algo de energía mi . Clásicamente, tiene algo de impulso y se mueve alrededor de la caja, rebotando de un lado a otro de las paredes. Esta partícula pasa la misma cantidad de tiempo en todos los puntos de la caja mientras se mueve con velocidad constante. Por lo tanto, intuitivamente, la distribución de probabilidad debería ser constante, es decir, tengo la misma probabilidad de encontrarla cerca de la pared que en el centro de la caja. De manera similar, la distribución de probabilidad se ve así:Distribución de probabilidad clásica

¿Por qué las dos distribuciones de probabilidad son tan diferentes? En el caso cuántico, es más probable que la partícula esté cerca del centro y tenga pocas posibilidades de estar cerca de las paredes. Clásicamente, la probabilidad debería ser uniforme, por lo que el caso cuántico no es intuitivo. Sé que la descripción de la mecánica cuántica es correcta a bajas energías, pero ¿existe una explicación intuitiva de por qué la distribución de probabilidad cuántica difiere tanto de la clásica?

No entiendo qué tipo de respuesta, excepto "Son diferentes porque la mecánica cuántica es realmente diferente de la mecánica clásica", podría estar buscando. Además, aquí está comparando manzanas con naranjas: el caso de la mecánica cuántica tiene información completa sobre el estado de la partícula, mientras que la probabilidad clásica solo surge porque carece de información sobre la partícula (es decir, su posición) que en principio podría tener. Estas dos situaciones son realmente muy diferentes y no entiendo por qué esperarías que las distribuciones de probabilidad fueran similares.
Sí, esperaba una respuesta como esta. Una pregunta más aguda y clara que tuve fue, independientemente de la distribución de probabilidad clásica, ¿por qué la partícula tiene una probabilidad mucho mayor de ser detectada en el medio del pozo en lugar de en los bordes? ¿Es esto algo especial para un pozo de potencial infinito?
@Sumant Lo mismo ocurre con el oscilador armónico (aunque por diferentes razones). Tenga en cuenta que el principio de correspondencia indica que las distribuciones cuántica y clásica eventualmente deben coincidir en el límite de los números cuánticos grandes. Si piensa en el estado fundamental como el estado menos clásico, puede imaginar que este es el estado para el cual las distribuciones serán las más diferentes.
@ACuriousMind hay muchos casos en los que cuántico y clásico no son tan diferentes, por lo que una discusión sobre por qué el pozo infinito es tan no clásico podría ser apropiado.
@DanielSank respetuosamente, me pregunto si es necesario editar la pregunta de Sumant tan extensamente. Parece que algunas de las ediciones no son extremadamente necesarias y, en algunos casos, no aclaran la pregunta. También existe el efecto secundario de que la cita de la pregunta en mi respuesta ya no está presente en la pregunta. Me doy cuenta de que eso no es importante, pero parece una pena si la edición en sí no es tan necesaria. Por supuesto, hay lugares donde la edición también lo ha mejorado claramente.
@ user183966 Cuando miré la pregunta por primera vez, me resultó difícil de leer. También descubrí que hacía más de una pregunta, lo que creo que es un problema importante. Mi edición se realizó de buena fe, para que la pregunta sea más clara y se adapte mejor al sitio. Bien puede ser que fui más allá de lo necesario, pero creo que la pregunta ahora es mejor. Por supuesto, puede agregar su propia edición si lo considera conveniente.
El objetivo de este sitio es crear contenido de alta calidad. Hago ediciones para lograr ese objetivo. Supongo que no está de acuerdo con mi edición en parte para proteger a Sumant de alguna manera. Eso es bueno porque es posible que los usuarios se sientan mal si su contenido no es bien recibido. Sin embargo, creo que es mejor que el usuario vea las ediciones y trate de entender cómo mejoran el contenido, sin preocuparse por ningún archivo adjunto personal a la publicación.
@DanielSank Ok, creo que vemos la utilidad de las ediciones de manera un poco diferente, pero es un problema menor.

Respuestas (1)

Como se señaló en los comentarios, en cierto sentido la respuesta es simplemente "debido a que la mecánica cuántica y la mecánica clásica son teorías diferentes, algunas de las predicciones serán diferentes".

Sin embargo, creo que es posible ir más allá, particularmente con respecto a sus preguntas "¿Por qué las dos distribuciones de probabilidad son tan diferentes?" y "¿La intuición clásica es muy mala a bajas energías o es algo más profundo?".

Hay estados cuánticos que son muy similares a los estados clásicos que se forman a partir de la combinación de muchos niveles de energía. En el sistema del "oscilador armónico", que es bastante similar al "bien cuadrado" que ha utilizado, estos están bien estudiados y se denominan "estados coherentes". Comparten muchas propiedades con la mecánica clásica. La función de onda parece una 'mancha' que rebota de un lado a otro como una partícula clásica. Si construye una 'gota' adecuada (que se hará agregando pequeñas cantidades del número infinito de todos los estados propios de energía), rebotará alrededor del cuadrado de manera bastante similar a una partícula clásica. Si integra/promedia la probabilidad durante un período de tiempo adecuado, se verá mucho más similar a la distribución uniforme clásica.

Entonces, para responder a su pregunta, las dos distribuciones de probabilidad son muy diferentes porque eligió un solo estado de energía. Los estados de energía individuales son extremadamente diferentes a los estados de partículas clásicos.

Este razonamiento también muestra por qué la mecánica cuántica es mejor que la mecánica clásica, particularmente a niveles de energía bajos. En niveles de energía bajos, alrededor de los pocos estados de energía inferiores, una partícula no puede estar en una combinación de muchos estados, porque acabamos de decir que está solo en los pocos estados más bajos. Entonces, sabemos que no está en uno de los estados que tienen propiedades más clásicas que se crean al combinar muchos niveles de energía y, por lo tanto, solo la mecánica cuántica puede funcionar bien.

Distribución de probabilidad de posición de una partícula en un pozo cuadrado infinito: clásica versus cuántica
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v