Estados cuánticos después de mediciones del mundo real

Respecto a las medidas de un observable en un sistema cuántico. Mi entendimiento, de los postulados de la mecánica cuántica, es que cuando medimos una cantidad observable, el estado del sistema colapsa a una función propia del operador hermitiano lineal que corresponde al observable:

A ^ | ψ ⟩ = y | y ⟩
dónde y es el valor propio y | y ⟩ es el estado propio. Entonces, si proyectamos sobre la base del observable, obtenemos la función delta de dirac. Consideremos el operador de posición por ejemplo, entonces:

⟨ X | A ^ | ψ ⟩ = y ⟨ X | y ⟩ = y d ( X − y ) .

Por lo que entiendo, en las mediciones del mundo real, el estado del sistema no es exactamente una función delta de dirac, sino más bien un paquete de ondas. ¿Cuál es la naturaleza de este paquete de ondas y qué determina su forma y función correspondiente? ¿Por qué la función no puede ser una función delta de dirac en mediciones del mundo real?

Gracias.

Relacionado con, y posiblemente un duplicado de physics.stackexchange.com/questions/218947/…
@DanielSank Su pregunta es demasiado avanzada. Estoy buscando una discusión mucho más básica, estoy empezando a aprender QM.
Realmente creo que estas preguntas son casi idénticas. Tenga en cuenta que mi pregunta no es más avanzada que la suya, es más específica (particularmente en términos de notación) porque sé un poco más sobre el tema, por lo que pude hacer una pregunta más enfocada. Supongo que estás preguntando más por qué no obtenemos funciones delta, mientras que yo estaba pidiendo una explicación de la función de onda final, sea lo que sea.
Creo que la respuesta ya existente de Ian es buena. Sin embargo, alentaría a alguien que sepa sobre estas cosas a que brinde una explicación o al menos una referencia sobre cómo calcular realmente la evolución de un estado cuántico a medida que se mide de manera imperfecta.
@DanielSank :) Oh, no vi que era tu pregunta. Entonces, ¿sabes la respuesta a mi pregunta?
@DanielSank ¿Eres físico cuántico? Deberíamos ser los mejores amigos, pero desafortunadamente sería una amistad un poco unilateral en esta etapa...
El postulado del colapso es bastante controvertido. Lea la medición cuántica de Cini sin colapsar

Respuestas (1)

Una función delta de Dirac tiene un ancho de fuga. Para "colapsar" la función de onda a una función delta, el aparato de medición necesitaría tener una precisión infinita, es decir, incertidumbre cero. Dado que ningún aparato de medición es perfecto, ninguna medición puede obligar a la función de onda a tener incertidumbre cero, es decir, ancho cero. Por lo tanto, la medición colapsará la función de onda a un ancho relacionado de alguna manera con la incertidumbre del aparato de medición.

La forma de la función de onda que sigue a la medición depende de la naturaleza del acto de medición. Esto sería imposible de modelar sin conocimiento sobre el aparato de medición.

Bien gracias. ¿Sería un paquete de ondas de algún tipo que se asemeje a una función delta de dirac? ¿Cuál es la naturaleza de este paquete de ondas?
Creo que depende de la naturaleza de la medida. Si la medida tiene como objetivo señalar la posición de la partícula, esperaría que la función de onda "colapsada" se pareciera a una función delta ligeramente ampliada. Si la medición simplemente prueba si la partícula está en Appleton o en Cherryville, esperaría que la función de onda colapsada fuera una función muy amplia que cubriera una de esas ciudades que apenas se parece a una función delta.
Y solo por diversión, considere las posiciones A, B, C y D. Si la medición detecta la partícula en uno de dos estados (A o B) o (C o D), entonces esperaría que la función de onda colapsada fuera una combinación lineal. de dos funciones delta ligeramente ampliadas centradas en (A y B) o (C y D).
@JohnDoe: Tendría que agregar errores estadísticos clásicos a la medición tanto en física clásica como en mecánica cuántica. En la mecánica cuántica, esto generalmente se hace con un objeto matemático llamado "matriz de densidad", que describe tanto los estados mixtos del sistema mecánico cuántico como cualquier incertidumbre estadística que podamos tener además de eso. No existe un análogo directo en la mecánica clásica debido a la falta de linealidad de los sistemas clásicos, pero en QM la matriz de densidad es, hasta donde yo sé, la descripción más completa de nuestro conocimiento sobre el estado de un sistema.
@CuriousOne Buen punto, pero en aras de una discusión simplificada, ¿estaría de acuerdo en que podemos considerar el tema de la medición sin considerar los errores estadísticos clásicos? Creo que la pregunta del OP sigue siendo interesante, incluso si solo consideramos los estados puros.
@Ian: El OP solicita mediciones no ideales, y un dispositivo de medición real siempre pondrá el sistema en un estado (ligeramente) mixto. Creo que puede manejar la verdad sobre eso. Podríamos retenerlo, pero inevitablemente regresaría en diez minutos (o un par de semanas) con una pregunta de seguimiento sobre eso... :-)
@CuriousOne El error de medición clásico no es la clave para la pregunta de OP, creo. Creo que la esencia de la pregunta proviene, por ejemplo, del hecho de que no es posible medir el momento de una partícula con una precisión infinita porque, por ejemplo, no tienes un laboratorio infinitamente largo. Los operadores de medición a los que tenemos acceso tampoco permiten que las funciones delta salgan de la medición, pero no es por el ruido. Bueno, está bien, los límites prácticos pueden provenir del ruido, pero creo que también hay otro límite allí.
@DanielSank: El hecho de que no esté en la pregunta del OP no significa que uno no esté obligado a pensar en ello si quiere entender lo que realmente está sucediendo. Los operadores de medición permiten distribuciones muy bien, solo tienes que masajear un poco el análisis funcional. Lo que no permite las funciones delta es el hecho de que un dispositivo de medición solo puede gastar una cantidad finita de masa-energía en una medición. Es la relatividad en el trabajo, no un punto fino de las matemáticas.
@CuriousOne, le garantizo que descubrirá que no puede hacer funciones delta a través de la medición, incluso en un universo no relativista. La relatividad no tiene nada que ver con esta pregunta.
@DanielSank: No existe un universo no relativista fuera de las aproximaciones de la mecánica cuántica que están estancadas en el nivel de Schroedinger en 1926. ¿Es esa aproximación autoconsistente? No. Nunca estuvo destinado a ser y los físicos de la época como Dirac se movieron más allá casi a la velocidad de la luz. Podría dar un discurso sobre esto, pero ¿por qué molestarse? Nima Arkani-Hamed lo ha hecho mucho y está todo en YouTube. Los invitaría a escuchar sus ideas sobre lo que sucede con las mediciones cuánticas en el límite de energía realmente alto. :-)
@CuriousOne No estoy familiarizado con el argumento de la relatividad. ¿Podría ampliar esto en una respuesta?
@Ian: Ver, por ejemplo, youtube.com/watch?v=87lz3U4CkPU alrededor de 12 minutos después de la conferencia.
@CuriousOne ¿El hecho de que no podamos obtener una función delta es solo un límite del dispositivo de medición? Según tengo entendido, la función delta no es normalizable, pero tomando la incertidumbre del mundo real de la medición, ¿el estado resultante después de la medición (que es algo posiblemente similar pero no una función delta de Dirac) se vuelve normalizable? Entonces, si hubiera un dispositivo de medición perfecto, podríamos obtener un estado que no podría existir porque no es normalizable, ¿es así? :/
@John Doe El problema aquí es que está considerando un dispositivo de medición perfecto en lugar del límite de un dispositivo de medición perfecto. En el límite a medida que el dispositivo se vuelve perfecto, la función de onda normalizable se aproxima a una función delta. Pero se mantiene normalizable a medida que toma el límite. Si insiste en considerar un dispositivo de medición perfecto no físico en lugar de su límite, entonces seguro que podemos tener funciones de onda no normalizables ya que estamos considerando un escenario no físico de todos modos.
@Ian Sí, entiendo que el pensamiento debe ser en términos de un límite porque tal dispositivo no podría existir. Es interesante que la teoría se base en la falta de precisión de la medición para ser una descripción completa de la realidad física. ¿Te parece interesante?
Lo encuentro interesante y no tengo una buena respuesta. Tal vez @CuriousOne tenga algo que decir al respecto.
@Ian: Al final del día, está pensando demasiado en este problema. Si desea comprimir la materia en un volumen realmente pequeño en la Tierra, necesita un acelerador. La última máquina que tenemos, en este momento, es LHC. Eso es todo. Puede obtener 14 TeV en el sistema del centro de masa y puede calcular una escala de longitud asociada con eso en la teoría cuántica de campos. Todo lo demás es simplemente un montón de artefactos matemáticos. Si quieres saber cómo funciona realmente la función delta, consigue un libro sobre análisis funcional y te dirá todo lo que quieras saber, pero nada sobre física.
@CuriousOne Este es un gran argumento y explica por qué no podemos tener un dispositivo de medición perfecto. Pero John Doe nos estaba pidiendo que consideráramos un dispositivo de medición perfecto. Esta es una pregunta/respuesta sobre la teoría, no sobre el mundo real. Así que mi respuesta considera el límite matemático a medida que el dispositivo de medición se acerca a la perfección, es decir, cuando podemos exprimir la partícula en una escala de longitud que se desvanece con una máquina infinitamente más poderosa que el LHC. Ya sea que QM se aplique o no al mundo real en este límite, estaba abordando una pregunta sobre QM como una teoría autónoma.
@JohnDoe Siguiendo el comentario de CuriousOne, cuando dice "se basa en... para ser una descripción completa de la realidad física", la lógica no es del todo correcta ya que nadie afirma que QM es físicamente realista incluso en el límite de la incertidumbre que desaparece, y mucho menos para la incertidumbre realmente igual a cero. Hay un límite superior en las energías donde se aplica QM. Por lo tanto, en todas partes donde se aplica QM, tenemos mediciones imprecisas de todos modos. Nadie tiene que imponer un axioma de medición imprecisa para que QM sea físicamente realista, ya que dentro de los límites de QM, la naturaleza ya nos da una medición imprecisa.
@Ian: Entonces es una pregunta sobre matemáticas y la respuesta se puede encontrar en libros sobre análisis funcional, que es de aprox. Campo de 100 años por ahora. Es un poco interesante y me senté a través de tres cursos principales de matemáticas al respecto cuando estaba en la universidad, pero como disciplina matemática es una "zona libre de física".
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