Energía de pozo potencial infinito para la función de onda constante por partes

Question

Energía de pozo potencial infinito para la función de onda constante por partes

danpuzzuoli

Estoy tratando de calcular el valor esperado de la energía para un cierto estado en un pozo de potencial infinito , pero obtengo respuestas contradictorias.

El pozo tiene potencial

\begin{aligned} V (X) = {\begin{array}{lr} 0 & : 0 < X < L \\ \infty & : en otra parte \end{array} \end{aligned}

$\begin{align} V(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 0 & : 0 < x < L\\ \infty & : \text{ elsewhere} \end{array} \right. \end{align}$ que tiene estados propios

ϕ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n π x}{L})

$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{n \pi x}{L})$ con las energías correspondientes

E_{n} = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}

$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$ .

Ahora, considere el estado

\begin{aligned} ψ (X) = {\begin{array}{lr} 0 & : 0 < X < L / 2 \\ \sqrt{\frac{2}{L}} & : L / 2 \leq X < L \\ 0 & : en otra parte \end{array} \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 0 & : 0 < x < L/2\\ \sqrt{\frac{2}{L}} & : L/2 \leq x < L\\ 0 &: \text{ elsewhere} \end{array} \right. \end{align}$ queremos calcular

⟨ H ⟩

$\langle H \rangle$ para este estado. Una forma de hacer esto es simplemente usando la definición:

⟨ H ⟩ = \int_{0}^{L} ψ^{*} (x) H ψ (x) d x

$\langle H \rangle = \int_{0}^L \psi^*(x) H \psi(x) dx$ . Aunque el problema con esto es que

ψ (x)

$\psi(x)$ es constante por partes, y por lo tanto esto le dará

0

$0$ . La otra opción es ampliar

ψ

$\psi$ en términos de la base propia de energía calculando los coeficientes

c_{n} = ⟨ ϕ_{n} | ψ ⟩

$c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle$ , y obteniendo

⟨ H ⟩ = \sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} |^{2} E_{n}

$\langle H \rangle = \sum_{n=1}^\infty | c_n |^2 E_n$ . Como

E_{n} > 0

$E_n > 0$ para cada

n

$n$ , esta cantidad será estrictamente mayor que

0

$0$ y por lo tanto diferirá de la respuesta anterior.

¿Cuál es la discrepancia? Seguramente tiene que ver con la discontinuidad en $x = L/2$ , pero no puedo entender cómo lidiar con eso.

Emilio Pisanty

Tenga en cuenta que su constante por partes

ψ (x)

$\psi(x)$ no es continua y, por lo tanto, no es una función de onda físicamente disponible. Intenta repetir el cálculo usando

C^{1}

$C^1$ funciones que convergen a

ψ

$\psi$ y obtendrá contribuciones ilimitadamente crecientes del "pegamento" en 0 y L.

Emilio Pisanty

De manera más general, representar funciones discontinuas utilizando series de Fourier no es un asunto trivial y conduce al fenómeno de Gibbs .

Respuestas (1)

Energía de pozo potencial infinito para la función de onda constante por partes

Tenga en cuenta que su constante por partes $\psi(x)$ no es continua y, por lo tanto, no es una función de onda físicamente disponible. Intenta repetir el cálculo usando $C^1$ funciones que convergen a $\psi$ y obtendrá contribuciones ilimitadamente crecientes del "pegamento" en 0 y L.
De manera más general, representar funciones discontinuas utilizando series de Fourier no es un asunto trivial y conduce al fenómeno de Gibbs .

qmecanico · Answer 1

El valor esperado

\begin{matrix} (1) & ⟨ ψ | V | ψ ⟩ = 0 \end{matrix}

$\tag{1} \langle \psi | V| \psi \rangle~=~0$

del operador de energía potencial $V$ es de hecho cero, pero el valor esperado

\begin{matrix} (2) & ⟨ ψ | k | ψ ⟩ = \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int_{R} d X | ψ^{'} (X) |^{2} = + \infty \end{matrix}

$\tag{2} \langle \psi |K| \psi \rangle~=\frac{\hbar^2}{2m} \int_{\mathbb{R}}\!dx~ |\psi^{\prime}(x)|^2 ~=~+\infty$

del operador de energía cinética $K$ es en realidad infinito para la función de onda

\begin{matrix} (3) & ψ (X) = \sqrt{\frac{2}{L}} (θ (X - \frac{L}{2}) - θ (X - L)), X \in R . \end{matrix}

$\tag{3} \psi(x)~=~ \sqrt{\frac{2}{L}}\left(\theta(x-\frac{L}{2}) -\theta(x-L)\right), \qquad x\in \mathbb{R}.$

Aquí $\theta$ es la función escalón de Heaviside .

El operador de energía cinética $K:=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}$ es un ejemplo de un operador ilimitado , que solo tiene sentido en su dominio ${\cal D}_K\subsetneq {\cal H}$ dentro del espacio de Hilbert ${\cal H}:=L^{2}(\mathbb{R})$ de funciones integrables de Lebesgue cuadradas. En particular, es un problema matemático no trivial cómo aplicar el operador diferencial $K$ a la función de onda no diferenciable (3).

El resultado infinito (2) se puede ver (en el nivel físico de rigor) en al menos tres formas (ordenadas con el cálculo computacionalmente más simple primero):

Conecte la función de paso de Heaviside en la ec. (2) para obtener una integral sobre el cuadrado de un par de funciones delta de Dirac situadas en $x=\frac{L}{2}$ y $x=L$ . Esto es estrictamente hablando matemáticamente mal definido. Físicamente, tiene sentido asignar a la integral el valor infinito, cf. esta publicación Phys.SE.
Calcular las superposiciones $c_n=\langle \phi_n | \psi \rangle$ , y mostrar que la suma

$\begin{matrix} (4) & ⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \sum_{norte = 1}^{\infty} | C_{norte} |^{2} {mi}_{norte} = + \infty \end{matrix}$ $\tag{4} \langle \psi |H| \psi \rangle=\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 E_n ~=~+\infty$ diverge Esta conclusión infinita parece físicamente sólida, ya que todos los términos de la serie (4) son no negativos.
Por regularización , como sugiere Emilio Pisanty en un comentario. Definir una función de onda regularizada $\psi_{\varepsilon} \in C^1(\mathbb{R})$ de tal manera que (i) converge $\psi_{\varepsilon}\to \psi$ para $\varepsilon\to 0^{+}$ , (ii) el valor esperado $\langle \psi_{\varepsilon} |K| \psi_{\varepsilon} \rangle$ es fácil de calcular y finito para $\varepsilon>0$ . Muestra esa $\langle \psi_{\varepsilon} |K|\psi_{\varepsilon} \rangle\to +\infty$ diverge para $\varepsilon\to 0^{+}$ .

Gracias, mi problema con el enfoque (1) es, como dices, matemáticamente no tiene sentido para mí. Estaba pensando en términos de integrales de Lebesgue, donde $\psi'$ es $0$ casi en todas partes y por lo tanto su integral (o la integral de su cuadrado) es por lo tanto $0$ (¿hay algo malo con este proceso de pensamiento?). El enfoque (2) es el más sencillo (en mi opinión) ya que se puede hacer con fuerza bruta.
Este requisito de que las funciones de ondas físicas sean continuamente diferenciables me resulta confuso. Podría ser solo mi falta de comprensión de QM de dimensión infinita, pero tome cualquier función de onda 1D $\psi$ (hazlo tan bonito como quieras) y elige $x^*$ de modo que $\psi(x^*) \neq 0$ . Ahora mida si la partícula está a la izquierda o a la derecha de $x^*$ . Supongamos que encuentra la partícula a la derecha de $x^*$ , ¿cuál es el estado después de la medición? Al estar acostumbrado a dim. finitos, asumo que 'proyecto $\psi$ ' (colocar $psi(x) = 0$ para $x < x^*$ ) y normalizar. Esta función no será continua, pero no puedo ver el problema.
El problema es que la función de onda $\psi$ en general tiene que pertenecer al dominio ${\cal D}_A$ del operador autoadjunto $A$ si se quiere medir el valor esperado $\langle \psi |A| \psi \rangle$ .

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danpuzzuoli

Emilio Pisanty

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