¿Cómo es el campo magnético del electrón (mecánico cuántico)?

El momento magnético del electrón es un momento magnético, por lo que el campo magnético correcto a su alrededor es

$$\mathbf{B}({\mathbf{r}})=\nabla\times{\mathbf{A}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\mathbf{r}(\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\mathbf{\mu}}}{r^{3}}\right).$$ El mundo es mecánico cuántico, y también lo es cualquier descripción viable del giro, por lo que debemos respetar los postulados de la mecánica cuántica. En particular, el campo magnético anterior corresponde a un "estado" (por ejemplo, giro hacia arriba y giro hacia abajo) y se pueden construir superposiciones lineales complejas de tales estados. Es importante darse cuenta de que la superposición mecánica cuántica de estados en el espacio de Hilbert de ninguna manera implica que los campos magnéticos correspondientes se agreguen de acuerdo con el principio de superposición del campo electromagnético clásico.

De hecho, son superposiciones lineales de estados que contienen diferentes perfiles del campo magnético.

El campo magnético alrededor del electrón es tan débil que, de hecho, de ninguna manera puede considerarse como un campo magnético clásico, en el sentido de que los campos clásicos son "grandes". ¡ Pero la fórmula clásica para el campo magnético sigue siendo correcta! Esta fórmula define el momento magnético. Sin embargo, los efectos cuánticos siempre son importantes. Además, si intenta medir este campo magnético muy débil, inevitablemente influirá en el estado del sistema medido, incluido el propio espín del electrón.

Por supuesto, es completamente erróneo imaginar que podamos medir un campo magnético tan débil con un gran aparato macroscópico, como un imán de nevera. El efecto del campo magnético de un electrón sobre un objeto tan grande sería casi nulo, por supuesto. De hecho, la mecánica cuántica garantiza la cuantización de muchos "fenómenos", por lo que en lugar de predecir un efecto muy pequeño en el imán de nevera, predice un efecto finito en el imán de nevera que ocurre con una probabilidad pequeña.

Puede "medir" el campo magnético del electrón creando un estado ligado con otro imán en forma de partícula elemental. Por ejemplo, el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno ejercen el mismo tipo de fuerza que esperaría de las fórmulas "clásicas" habituales, pero es importante darse cuenta de que todas las cantidades en las ecuaciones son operadores con sombreros.

Permítanme mostrarles un ejemplo de una verificación de consistencia simple que implica que no hay contradicción. Calcule el valor esperado del campo magnético (un operador)$\vec B(\vec r)$en algún momento para el estado$c_{up}|up\rangle + c_{down} |down\rangle$. El vector columna de las amplitudes.$c$está normalizado. La comprobación es que obtiene el mismo valor esperado de$\vec B(\vec r)$para cada$\vec r$si primero lo calcula para el componente "arriba" y el componente "abajo" por separado, y luego agrega los términos, o si primero se da cuenta de que es un estado de giro "arriba" con respecto a un nuevo eje$\vec n$y calcular$\vec B$a partir de ese.

Es un buen ejercicio. El punto es que el valor esperado de$\vec B(\vec r)$es una expresión bilineal en el vector sujetador y el vector ket$|\psi\rangle$, al igual que la dirección$\vec n$. Y de hecho,$\vec B$es lineal en la dirección$\vec n$, de acuerdo con la fórmula anterior, por lo que las cosas estarán de acuerdo. De hecho, puede insertar cualquier otra cosa en el valor esperado, por lo que la verificación funciona para todas las expresiones lineales en$\vec B$. Los poderes superiores de$\vec B$también tienen valores esperados, pero se comportarán de manera diferente que en la física clásica porque habrá contribuciones adicionales del "principio de incertidumbre", análogo a las energías de punto cero del oscilador armónico en la mecánica cuántica.

Es extremadamente importante darse cuenta de que el campo$\vec B(\vec r)$también es un operador, por lo que tiene elementos de matriz fuera de la diagonal distintos de cero con respecto a los estados de espín "arriba" y "abajo" del electrón. De hecho, si solo escribes$\vec \mu$en la fórmula para el campo magnético con la que comencé como un múltiplo de las matrices de Pauli (espín del electrón), verá exactamente cómo se comporta el término "clave" en el campo magnético con respecto a los estados de espín hacia arriba y hacia abajo. Los elementos fuera de la diagonal no contribuyen al valor esperado en el estado arriba o en el estado abajo, pero sí impactan en los "elementos de la matriz mixta entre arriba y abajo, y esos afectan los valores esperados en los estados de espín polarizados a lo largo de ejes no verticales .

Por cierto, agregué una versión de blog semipopular de mi respuesta aquí

http://motls.blogspot.com/2014/07/does-electrons-magnetic-field-look-like.html?m=1