Relación entre el momento dipolar magnético y el momento angular de espín

Estoy leyendo Introducción a la mecánica cuántica, primera edición, de David J. Griffiths, y tengo un par de preguntas sobre esta sección en la página 160.

Una partícula cargada que gira constituye un dipolo magnético. Su momento dipolar magnético$\mu$es proporcional a su momento angular de espín S :

$$\mathbf{\mu} = \gamma\mathbf{S}$$ la constante de proporcionalidad $\gamma$se llama relación giromagnética .

Tomando el momento dipolar magnético como un vector en$\mathbb{R}^3$, ¿a qué se refiere S ? Todavía no he visto ningún vector en$\mathbb{R}^3$definido como el momento angular de espín en el texto, solo espinores que dan el estado general de, por ejemplo, una partícula de espín-1/2 como

$$\chi = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = a\chi_+ + b\chi_-$$ utilizando los autoestados spin up y spin down como vectores base.

La sección continúa:

Cuando un dipolo magnético se coloca en un campo magnético$\mathbf{B}$, experimenta un torque,$\mathbf{\mu \times B}$, que tiende a alinearlo paralelo al campo (como la aguja de una brújula). La energía asociada con el torque es

$$H = -\mu\cdot\mathbf{B}$$ entonces el hamiltoniano de una partícula cargada girando, en reposo en un campo magnético $\mathbf{B}$, se convierte $$H = -\gamma\mathbf{B\cdot S}$$ dónde $\mathbf{S}$es la matriz de espín apropiada.

¿Cuál es el significado matemático de este producto escalar?$\mathbf{B\cdot S}$de un vector en$\mathbb{R}^3$con una matriz de 2x2 (en el caso de espín 1/2)?