Paradoja aparente entre las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica clásica

El problema es que la lagrangiana y la hamiltoniana son funciones de diferentes variables, por lo que debes tener mucho cuidado al comparar sus derivadas parciales.

Considere los cambios diferenciales en$L$y$H$a medida que cambia sus argumentos:

$$dL = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right) dq + \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) d\dot q$$

$$dH = \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right) dq + \left( \frac{\partial H}{\partial p}\right) dp$$

Hallazgo$\frac{\partial L}{\partial q}$corresponde al movimiento$q$mientras lo esté agarrando$\dot q$fijado. Por otra parte, encontrar$\frac{\partial H}{\partial q}$corresponde al movimiento$q$mientras lo esté agarrando$p$fijado. Si$p$puede expresarse como una función de$\dot q$solamente, entonces estas dos situaciones coinciden - sin embargo, si también depende de$q$, entonces no lo hacen, y las dos derivadas parciales se refieren a dos cosas diferentes.

Explícitamente, escribe$p = p(q,\dot q)$. Luego, usando la regla de la cadena, encontramos que

$$dH = \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right) dq + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)\left[\frac{\partial p}{\partial q} dq + \frac{\partial p}{\partial \dot q} d\dot q\right]$$

Entonces, si cambiamos$q$pero espera$\dot q$arreglado, encontramos que

$$dL = \left(\frac{\partial L}{\partial q} \right)dq$$ tiempo $$dH = \left[\left(\frac{\partial H}{\partial q} \right) + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)\left(\frac{\partial p}{\partial q} \right)\right]dq$$

Si$L(q,\dot q) = H(q,p(q,\dot q))$como en el caso de una partícula libre, entonces encontraríamos que

$$dL = dH$$ asi que $$\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)= \left(\frac{\partial H}{\partial q} \right) + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)\left(\frac{\partial p}{\partial q} \right)$$

---

Podemos verificar esto para la partícula libre en coordenadas polares, donde

$$L = \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2)$$ $$H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2}$$ $$p_r = m\dot r \hspace{1 cm} p_\theta = mr^2 \dot \theta$$

para el lado izquierdo,

$$\frac{\partial L}{\partial r} = mr \dot \theta^2$$

Para el lado derecho,

$$\frac{\partial H}{\partial r} = -\frac{p_\theta^2}{mr^3} = -mr\dot\theta^2$$ $$\frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{mr^2} = \dot \theta$$ $$\frac{\partial p_\theta}{\partial r} = 2mr\dot \theta$$ asi que $$\frac{\partial H}{\partial r} + \frac{\partial H}{\partial p_\theta} \frac{\partial p_\theta}{\partial r} = -mr\dot \theta^2 + (\dot \theta)(2mr\dot \theta) = mr\dot \theta^2$$

como se esperaba.

---

Tu error fue sutil pero común. En termodinámica, a menudo encontrarás cantidades escritas así:

$$p = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}$$

lo que significa

La presión$p$es igual a menos la derivada parcial de la energía interna$U$con respecto al volumen$V$, manteniendo la entropía$S$y número de partículas$N$constante

Esto nos recuerda precisamente qué variables se mantienen constantes cuando realizamos nuestra diferenciación, para que no cometamos errores.

Si nos fijamos en los valores de las funciones:

$$H(q,p) = T(q,p) + V(q,p)\\ L(q, \dot{q}) = T(q, \dot{q}) - V(q,\dot{q})$$ con $$T(q, \dot{q}) = T(q, p)$$ La energía cinética en función de $q$y $\dot{q}$y la energía cinética en función de $q$y $p$se supone que tienen el mismo valor. PERO eso no significa que sean la misma función. Si lo escribes correctamente, debes escribirlo: $$T(q, \dot{q}) = \tilde{T}(q, p)$$ Si mantienes esto en mente, entonces la paradoja debería desaparecer.