Los realistas matemáticos creen que las entidades matemáticas existen independientemente de la mente humana. Los objetos matemáticos tienen una existencia objetiva e independiente, y los matemáticos los descubren, no los inventan.
Pero, ¿se aplica esto a todas las entidades matemáticas?
Parece intuitivo que conceptos como el número 3, número impar, sqrt(2), triángulo, esfera, cono, etc... tienen una existencia independiente.
Por otro lado, algunos de los conceptos matemáticos más avanzados que uno encuentra al estudiar ciencias e ingeniería parecen definitivamente construcciones humanas artificiales.
Conceptos como las transformadas de Fourier y Laplace , las integrales de superficie , los polinomios de Hermite , los grupos de Weil , etc... parecen más cercanos a las innovaciones técnicas, a la par de los algoritmos informáticos o los lenguajes humanos, y parecen definitivamente objetos inventados por matemáticos, no descubierto.
Sí hay. Maddy toma esta posición en Perception and Mathematical Intuition , y también lo hacen los aristotélicos matemáticos recientes. La alternativa de creer que todo es real generalmente viene con un platonismo completo (formas en un reino separado), y no es muy popular; sin embargo, consulte Platonism, Naturalism, and Mathematical Knowledge de Brown para una defensa moderna. Sin embargo, permítanme agregar que muchos realistas modernos admitirían pragmáticamente entidades matemáticas ficticias más allá de las meramente construibles, como cardinales inaccesibles o conjuntos no medibles de Lebesgue, aunque Aristóteles podría haber sido más conservador.
Aquí hay una cita larga del Realismo aristotélico de Franklin , que doy en su totalidad porque parece abordar las preguntas directamente:
“ La tesis defendida ha sido que algunos enunciados matemáticos necesarios se refieren directamente a la realidad. La tesis más fuerte de que todas las verdades matemáticas se refieren a la realidad me parece demasiado fuerte... Los enunciados sobre números negativos pueden referirse a la realidad de alguna manera, ya que uno puede sacar conclusiones verdaderas. sobre las deudas mediante el uso de números negativos, pero la referencia es indirecta, en la forma en que las afirmaciones sobre el asalariado medio se refieren a la realidad, pero no en el sentido directo de afirmar algo sobre una entidad, "el asalariado medio". referencia de este tipo no es en principio misteriosa, aunque necesita ser explicada en cada caso particular.
Por tanto, se puede conceder que muchas de las entidades mencionadas en las matemáticas son ficticias, sin admitir que esto hace que las matemáticas sean únicas; menos 1 puede verse como entidades ficticias en otros lugares, como el típico londinense, los agujeros, la deuda nacional, el Zeitgeist, etc. Lo que se ha afirmado es que hay propiedades, como la simetría, la continuidad, la divisibilidad, el aumento, el orden, la parte y el todo, que poseen las cosas reales y son estudiadas directamente por las matemáticas, dando como resultado proposiciones necesarias sobre ellas. "
Lo que describí son variaciones del realismo matemático "genuino", pero también hay otro tipo, donde este problema ni siquiera surge. Aquí está Quine: " No veo manera de satisfacer las necesidades de la teoría científica... sin admitir universales irreductiblemente en nuestra ontología... El nominalismo... es evidentemente inadecuado para un sistema científico moderno del mundo ". Esto llegó a conocerse como el "argumento de la indispensabilidad" para la existencia de los universales, Putnam se unió a Quine al aceptarlo en la década de 1970, cuando era realista. Sin embargo, quien lea esto debe tener en cuenta que para Quine " ser es ser un valor de una variable " en una ontología teórica, y las ontologías, científicas o no, son " mitos " y "". Entonces, "los universales existen" solo significa que nuestro esquema científico actual los necesita como variables, y cualquier otra cosa que necesite, también existe.
Eso fue entonces. Desde entonces, los nominalistas, como Chihara y Field, demostraron que, después de todo, los conjuntos y los números eran prescindibles en la ciencia. Como dice Burgess, el mentor de Maddy y compañero aristotélico, en Por qué no soy nominalista : " Quine y Putnam han sido falsos amigos de los números al presentar el caso, porque su aceptación parece depender de una afirmación de indispensabilidad ".
Esta es una excelente pregunta, porque va directamente al corazón del problema del realismo matemático, que es esencialmente la misma pregunta que el problema de los universales, que es esencialmente el mismo que el problema mente-cuerpo del dualismo cartesiano .
En el centro de todas estas preguntas está la cuestión de si vivimos una existencia puramente material o hay un fantasma en la máquina.
Entonces, aunque no sé mucho sobre los realistas matemáticos como Roger Penrose, ni las razones por las que creen como lo hacen, puedo decir cómo creo que estos problemas impactan en lo que creo que debería ser el realismo matemático.
El problema en la pregunta de @Alexander se reduce a uno de complejidad. Parece bastante simple ver el orden implícito de los números enteros y luego intuir que estos son reales para todos, por lo tanto, deben tener una realidad independiente. Pero cuando se trata de soluciones complicadas e ingeniosas a problemas que tal vez no sean necesariamente problemas que requieran resolución en primer lugar, parece intuitivamente que tal creatividad tiene que ser original en todos los sentidos.
Entonces, la pregunta es, por implicación, sobre la creatividad, sobre el arte, y dónde, si en algún lugar trazamos una línea entre el arte y la ciencia,
Una forma de abordar el problema es considerar la poesía y el diccionario. El diccionario por su misma existencia implica todos los arreglos posibles de las palabras que contiene; ahí reside su fantasma, y entre esas posibilidades están las obras completas de Shakespeare, que teóricamente creemos que podrían ser replicadas por un ejército de chimpancés que golpean las máquinas de escribir. Entonces, cuando Shakespeare escribe “¿Qué hay en un nombre? Lo que llamamos rosa con cualquier otra palabra olería igual de dulce; la frase [y sus palabras] adquiere significado a partir de su contexto en la obra, al igual que la obra adquiere significado al ser traída al mundo por Shakespeare, y más aún a partir de las representaciones, su lugar en la historia y el impacto que ha tenido en innumerables vidas, y los spin-offs en la música y el cine.
Todo este significado contextual amplifica partes del fantasma que están en potencial en el diccionario, y ahí radica el Arte, el proceso creativo de tomar algo de poco significado y dotarlo de un mayor significado. Esto es lo que hizo Marcel Duchamp con Fountain, al igual que su audiencia. [¡Aunque no el panel de exhibición!]
La creatividad en las matemáticas no es diferente a la creatividad en el arte, la literatura o cualquier otro acto de la vida. Multiplica el sentido escaso en las relaciones fantasmales entre universales, dándoles vida de manera más o menos original, lo que se comprueba en el valor que le damos a la originalidad y la creatividad.
La conclusión es que toda la vida agrega soluciones mucho más complejas e impredecibles al fantasma, por lo que no hay un problema específico con la complejidad matemática. El problema es, en primer lugar, con la premisa original de un realismo matemático fantasmal. ¿Es realmente independientemente real?