¿Qué nos gana filosóficamente el constructivismo matemático?

Trae más que seguridad (efímera) de cimientos, pero lo que es más es diferente para diferentes personas. Los primeros intuicionistas como Brouwer y Weyl vieron las matemáticas como el juego libre de un sujeto creativo kantiano, y para ellos los "excesos" de las matemáticas clásicas eran simplemente infieles a la intuición matemática de ese sujeto y sus otras facultades cognitivas. Esto es particularmente obvio en la crítica de Weyl del "continuo atomístico" de las matemáticas clásicas versus el continuo intuitivo que aparece no como " un agregado de elementos fijos sino como un medio de libre 'devenir' ", y su anhelo general:"¿Dónde está ese mundo trascendente llevado por la creencia, al que se dirigen sus símbolos? No lo encuentro [en las matemáticas clásicas], a menos que fusione completamente las matemáticas con la física y asuma que los conceptos matemáticos de número, función, etc. (o los símbolos de Hilbert), generalmente participan en la construcción teórica de la realidad de la misma manera que los conceptos de energía, gravitación, electrón, etc. ", ver ¿La resolución de Aristóteles de las paradojas de Zenón está justificada por el movimiento en el continuo intuicionista?

Bishop, el fundador del análisis constructivo, más tarde tuvo sentimientos igualmente fuertes. En una conferencia de 1974 titulada Crisis, escribió: " Hay una crisis en las matemáticas contemporáneas, y cualquiera que no la haya notado está siendo ciego deliberadamente. La crisis se debe a nuestro descuido de las cuestiones filosóficas... " y en su diagnóstico de la crisis causa como un exceso idealista comentó que " es difícil creer que la degradación del significado pueda llevarse tan lejos " refiriéndose al análisis no estándar, ver Katz's Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism? Es un poco irónico que Cantor, el más platónico de todos los platónicos, también tuviera palabras fuertes contra los infinitesimales, ver¿Cuál fue la razón filosófica de Cantor para aceptar lo infinito pero rechazar lo infinitesimal? Sin embargo, Bishop no descarta simplemente los teoremas clásicos: " Todo teorema probado con métodos idealistas presenta un desafío: encontrar una versión constructiva y darle una prueba constructiva... Muy posiblemente las matemáticas clásicas dejarán de existir como disciplina independiente. "

Sin embargo, este tipo de actitud apasionada es bastante raro entre los matemáticos que trabajan. Pero muchos de ellos ven favorablemente las matemáticas constructivas porque ofrecen más en el sentido práctico: construcciones y cálculos explícitos, que pueden usarse no solo para probar la existencia pura sino también para construir y explorar ejemplos explícitos, estimaciones de error que son necesarias si se pretende que las manipulaciones teóricas factible e implementable en la práctica, etc. El propio Bishop escribe: " Está claro que muchos de los resultados de este libro podrían programarse para una computadora... Tal como está escrito, este libro está orientado a las personas y no a las computadoras. Sería de gran interés tener una versión orientada a la computadora ”. Pero en el otro extremo del espectro encontramosTait's Against Intuitionism: Constructive Mathematics Is Part of Classical Mathematics , quien, como sugiere el título, sostiene que uno puede aceptar algunas auto-restricciones en aras de propósitos constructivos, sin dejar de ser un matemático clásico: " Pero la noción de computabilidad, aunque importante dentro de matemáticas y en aplicaciones, es una noción matemática, entendida en términos de las nociones de número y función (extensional). La búsqueda de pruebas constructivas y de análogos demostrables constructivamente de los teoremas clásicos está bien motivada. Pero es una búsqueda dentro del dominio común. de las matemáticas y no se basa en algún círculo extraño de ideas " .

Los intuicionistas filosóficos más recientes, como Dummett, Tennant y Wright, están en algún punto intermedio, sus preocupaciones son semánticas y epistemológicas, como las de Weyl y Brouwer, pero más pragmáticas y menos kantianas. Encuentro ¿De qué se tratan las matemáticas? de Dummett. bastante perspicaz.