¿Cómo es que el pensamiento intuitivo se relaciona con la construcción de una prueba?

El intuicionismo es una filosofía de las matemáticas que fue introducida por el matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966): desarrolló una filosofía de las matemáticas muy personal que funda las matemáticas (siguiendo parcialmente a Kant; véase Filosofía de las matemáticas de Kant ) en una intuición pura de tiempo.

Puedes ver su Intuicionismo y formalismo (1912):

La pregunta de dónde existe la exactitud matemática es respondida [por el intuicionista]: en el intelecto humano. En Kant encontramos una vieja forma de intuicionismo, ahora casi completamente abandonada, en la que el tiempo y el espacio se toman como formas de concepción inherentes a la razón humana. Para Kant los axiomas de la aritmética y la geometría eran juicios sintéticos a priori, es decir, juicios independientes de la experiencia y no susceptibles de demostración analítica [...]

la posición del intuicionismo se ha recuperado al abandonar la aprioridad kantiana del espacio pero adhiriéndose más resueltamente a la aprioridad del tiempo. Este neointuicionismo considera el desmoronamiento de los momentos de la vida en partes cualitativamente diferentes, que sólo se reunen permaneciendo separados por el tiempo como el fenómeno fundamental del intelecto humano, pasando por la abstracción de su contenido emocional al fenómeno fundamental del pensamiento matemático, la intuición de la dosunidad desnuda.

Esta intuición de la dos-unidad, la intuición básica de las matemáticas , crea no sólo los números uno y dos, sino también todos los números ordinales finitos, en la medida en que uno de los elementos de la dos-unidad puede pensarse como una nueva dos-unidad. , cuyo proceso puede repetirse indefinidamente; esto da lugar aún más al número ordinal infinito más pequeño ω .

Para una forma diferente de filosofía de las matemáticas basada en la intuición , y menos confusa filosóficamente que la de Brouwer, véase Henri Poincaré y su concepción de:

intuición del número puro, de donde viene el axioma de la inducción en matemáticas.

Véase, por ejemplo , La Science et l'Hypothèse (1902), traducción al inglés. (1905), Ch.1 : Sobre la naturaleza del razonamiento matemático, página 17 :

La inducción matemática, es decir, la prueba por recurrencia, se nos impone necesariamente, porque no es más que la afirmación de una propiedad de la mente misma.

La segunda oración del artículo de la SEP sobre el intuicionismo matemático da una explicación bastante buena de por qué se llama así:

El intuicionismo se basa en la idea de que las matemáticas son una creación de la mente.

Como señala Mauro en su comentario a su pregunta, Brouwer basó muchas de sus ideas en las opiniones de Kant sobre las matemáticas . Central a las opiniones de Kant es la idea de que las matemáticas son intuitivas, lo que significa puramente de la mente:

Los conceptos [matemáticos] deben exhibirse inmediatamente in concreto en la intuición pura, a través de la cual cualquier cosa infundada y arbitraria se vuelve instantáneamente obvia.

La construcción en el intuicionismo no debe pensarse como se pensaría en la construcción en términos de construir una casa. Significa que estamos construyendo las reglas, y por lo tanto los objetos que creamos con las reglas, desde dentro de nuestras propias mentes. Esta visión contrasta, por ejemplo, con el platonismo matemático que dice que los objetos matemáticos son objetos reales inmateriales o abstractos. Una vez más, la razón por la que el intuicionismo dice que las ideas matemáticas se "construyen" es para contrastar con la idea de que se "descubren", que prevalece en el platonismo. No se puede subestimar el papel que jugaron la filosofía de la mente y la filosofía de las matemáticas de Kant en la de Brouwer. Para tener una mejor idea de lo que él quiere decir con intuición, probablemente le será de gran ayuda estudiar a Kant. inevitablemente tula distinción analítico/sintético también.

Considere las diferencias en estas afirmaciones: "He construido una prueba de que 1 + 1 = 2" y "He descubierto una prueba de que 1 + 1 = 2". Hay mucha diferencia en esas dos declaraciones, sin embargo, si tenemos mucho cuidado con la filosofía de las matemáticas, esas dos declaraciones son completamente diferentes. El intuicionismo es la escuela de pensamiento que solo podemos construir pruebas a través de nuestra propia intuición.

Estás pensando demasiado en esto. La lógica intuitiva se llama así porque ese es el nombre que le dieron sus progenitores en función de su origen, y no porque el mundo de la filosofía en general llegó a un consenso de que era la mejor opción para describir los métodos.