Aproximación WKB en dos dimensiones

¿Alguien sabe cómo implementar la aproximación WKB para la ecuación de Schrödinger bidimensional con un potencial de oscilador armónico?

1 2 [ − ( ∂ 2 ∂ X 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) + X 2 + y 2 + 2 X y ] ψ ( X , y ) = mi ψ ( X , y ) .

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Ha pasado algún tiempo desde que preguntaste esto, pero ten en cuenta que el término potencial es X 2 + 2 X y + y 2 = r 2 . Presumiblemente, entonces tienes que escribir ∂ 2 ∂ X 2 + ∂ 2 ∂ y 2 en términos de coordenadas polares planas.

Respuestas (1)

Sugerencia: rotar el sistema de coordenadas 45 ∘ :

(1) X ±   :=   X ± y 2 .

Luego, el TISE se separa en (oscilador armónico 1D) × (partícula libre 1D):

(2) ( − 1 2 ∂ 2 ∂ X + 2 + X + 2 − 1 2 ∂ 2 ∂ X − 2 ) ψ ( X + , X − )   =   mi ψ ( X + , X − ) ,
que se puede resolver exactamente. No hay necesidad de aproximaciones WKB.

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