Ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico

En primer lugar, debe recordar que la ecuación de Schroedinger es una ecuación de valores propios. Si no está familiarizado con las ecuaciones de valores propios, debe consultar cualquier libro o curso de matemáticas lo antes posible.

Respuesta 1 (mis disculpas, usaré mi propia notación, ya que esto es principalmente copiar y pegar de mis notas anteriores):

Primero define constantes

$$\begin{equation} x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} , \end{equation}$$ $$\begin{equation} p_0 = \frac{\hbar}{x_0} = \sqrt{\hbar m \omega} , \end{equation}$$ y operadores adimensionales $$\begin{equation} \hat{X} = \frac{1}{x_0} \hat{x} , \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \hat{P} = \frac{1}{p_0} \hat{p} . \end{equation}$$

Su relación de conmutación es entonces

$$\begin{equation} \left[ \hat{X} , \hat{P} \right] = \left[ \frac{1}{x_0}\hat{x} , \frac{1}{p_0}\hat{p} \right] = \frac{1}{x_0 p_0} \left(\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} \right) = \frac{1}{x_0 p_0} \left[ \hat{x} , \hat{p} \right] = \frac{i\hbar}{x_0 p_0} = i , \end{equation}$$ como $$\begin{equation} x_0 p_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \sqrt{\hbar m\omega} = \hbar . \end{equation}$$

Ahora escribe hamiltoniano en términos de$\hat{X}$y$\hat{P}$. Empezar con

$$\begin{equation} \hat{H} = \frac{p_0 ^2}{2m} \hat{P} ^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 x_0 ^2 \hat{X}^2 . \end{equation}$$

Darse cuenta de

$$\begin{equation} p_0 ^2 = \hbar m \omega \end{equation}$$ y $$\begin{equation} x_0 ^2 = \frac{\hbar}{m \omega} , \end{equation}$$ por eso $$\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hbar \omega}{2} \hat{P}^2 + \frac{\hbar \omega}{2} \hat{X}^2 = \frac{\hbar \omega}{2} \left(\hat{X}^2 + \hat{P}^2 \right). \end{equation}$$

Hasta la relación de conmutación podemos escribir

$$\begin{equation} \left(X^2 + P^2 \right) = \left(X - iP \right) \left(X + iP \right) . \end{equation}$$

Por otro lado, para los operadores esto no está del todo permitido, ya que

$$\begin{align} \left(\hat{X} - i\hat{P} \right) \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) &= \hat{X}^2 + i\hat{X}\hat{P} - i\hat{P}\hat{X} + \hat{P}^2 \nonumber \\ &= \hat{X}^2 +i \left(\hat{X}\hat{P} - \hat{P}\hat{X}\right) + \hat{P}^2 \\ &= \hat{X}^2 + i \left[ \hat{X} , \hat{P} \right] + \hat{P}^2 = \hat{X}^2 + \hat{P}^2 - 1 \nonumber , \end{align}$$ entonces uno tiene $$\begin{equation} \left(\hat{X}^2 + \hat{P}^2 \right) = \left(\hat{X} - i\hat{P} \right) \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) + 1 . \end{equation}$$

Ahora podemos definir

$$\begin{equation} \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) , \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \hat{a}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{X} - i\hat{P} \right), \end{equation}$$ llamar a este operador de creación y $\hat{a}$- operador de aniquilación. Observe que ahora podemos expresar el hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación: $$\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hbar\omega}{2} \left(\sqrt{2} \hat{a} ^\dagger \sqrt{2} \hat{a} + 1 \right) = \hbar \omega \left(\hat{a} ^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right) . \end{equation}$$

Pero también podemos definir el operador numérico,$\hat{N} = \hat{a} ^\dagger \hat{a}$, así que finalmente obtén

$$\begin{equation} \hat{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2} \right) . \end{equation}$$

Ahora ve un poco a un lado y considera los operadores de creación y aniquilación. Por definición,

$$\begin{equation} \hat{a}^\dagger \left| n \right\rangle = \sqrt{n + 1} \left| n + 1 \right\rangle , \end{equation}$$ $$\begin{equation} \hat{a} \left| n \right\rangle = \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle , \end{equation}$$ dónde $\left| n \right\rangle$es el estado propio de los operadores de creación y aniquilación, así como del hamiltoniano (debido al hecho de que conmutan - tarea para probar).

Ahora

$$\begin{equation} \hat{a}^\dagger\hat{a} \left| n \right\rangle = \hat{a}^\dagger \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle = \sqrt{n} \sqrt{n} \left| n \right\rangle = n \left| n \right\rangle , \end{equation}$$ entonces concluya que el valor propio de un operador numérico, $\hat{N}$, es solo $n$, por lo que si ahora aplicamos el hamiltoniano en la ecuación de Schroedinger, obtenemos

$$\begin{equation} \hat{H} \psi = E \psi , \end{equation}$$ $$\begin{equation} E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right) , \end{equation}$$ que es exactamente el resultado que estabas buscando.

Respuesta 2:

En primer lugar, debe recordar que el objetivo general de resolver un problema de valores propios es encontrar un conjunto de vectores propios, pero no un solo vector propio. En su caso, la ecuación debe modificarse para

$$\begin{equation} \frac{d^2 \psi_n}{dx^2} + \left[(2n + 1) - \varepsilon^2\right]\psi_n = 0 , \end{equation}$$ dónde $\psi_n$son vectores propios (funciones propias) que corresponden a valores propios $E_n$. Trate de pensar un poco y explique el significado físico de tener muchos valores propios de energía en la mecánica cuántica.

Ahora regrese a la teoría general de las ecuaciones de valores propios. Aunque nunca he encontrado la ecuación que escribiste, no puedo encontrar ningún lugar donde pueda estar mal aparte del que acabas de señalar. Sin embargo, no veo qué tan lejos puedes ir de eso.

Respuesta 3:

Los polinomios de Hermite suelen estar más allá de los cursos estándar de mecánica cuántica. Si conoce los polinomios de Legendre, Chebyshev y/u otros, puede adivinar que los polinomios de Hermite se derivan como solución a alguna ecuación diferencial, y esto no contradice la definición de$\psi$.

Como ya mencioné, los polinomios de Hermite generalmente están más allá de los cursos estándar de mecánica cuántica. Por lo general, se supone que no debe derivarlos en este nivel. Sin embargo, si aún está interesado, puede consultar con Google o hacer otra pregunta aquí.

Espero que sus preguntas ahora hayan sido respondidas en su totalidad. Sin embargo, si necesita más comentarios, es bienvenido.