Estados propios de energía instantánea para oscilador armónico forzado

Estoy interesado en aplicar el teorema adiabático al oscilador armónico forzado con hamiltoniano dependiente del tiempo de la forma:

H ( t ) = ℏ ω ( a † a + 1 2 ) − F ( t ) a − F ∗ ( t ) a †

dónde F ( t ) es una función arbitraria del tiempo y F ∗ ( t ) es su complejo conjugado. He resuelto el problema exactamente para el estado del sistema. | Ψ ( t ) ⟩ que es un estado coherente. Para aplicar el teorema adiabático necesito resolver los autoestados instantáneos del hamiltoniano | mi r ( t ) ⟩ , que no son lo mismo que el estado del sistema | Ψ ( t ) ⟩ . | mi r ( t ′ ) ⟩ es un estado propio de H ( t ′ ) solo a la vez t = t ′

No estoy seguro por dónde empezar, intenté expandir los estados propios como una combinación lineal de los estados excitados del oscilador armónico simple, como un estado coherente. Pero se han quedado atascados. ¿Alguien puede señalarme en la dirección correcta?

El teorema adiabático se refiere a una brecha de energía entre estados. Según tengo entendido, su hamiltoniano se trata de un solo estado aislado ya que no hay un índice en los operadores de creación/aniquilación.
Esta publicación debería ayudar: physics.stackexchange.com/questions/129664/…
@Adam, la publicación a la que hace referencia tiene un hamiltoniano donde la única constante es ω para que puedan factorizar su hamiltoniano. No estoy seguro de poder obtener el mío en una forma como la de ellos.
@CStarAlgebra: eche un vistazo a la segunda respuesta. Está el caso general.

Respuestas (1)

Para encontrar los estados propios de energía instantánea, necesita tratar t como parámetro y resolver el problema para un hamiltoniano independiente del tiempo dependiendo del parámetro adicional t .

La mejor manera de hacerlo es completar el cuadrado y escribir el hamiltoniano como:

H = ℏ ω ( A † A + 1 2 ) − F ( t ) 2 ℏ ω

dónde

A = a − F ( t ) ℏ ω
A † = a † − F ( t ) ℏ ω

Como las relaciones de conmutación no cambian:

[ A , A † ] = [ a , a † ] = 1
Este hamiltoniano es simplemente un hamiltoniano de oscilador armónico desplazado, cuyos valores propios (instantáneos) son:
mi norte = ℏ ω ( norte + 1 2 ) − F ( t ) 2 ℏ ω

Ahora, se debe tener la siguiente precaución. Para comparar las soluciones exactas e instantáneas y verificar el teorema adiabático, deben expresarse en términos de las mismas coordenadas. En el caso instantáneo, el desplazamiento en los operadores de subida y bajada se traducirá al operador de posición:
X = A + A † = a + a † = X − 2 F ( t ) ℏ ω
La dependencia de las funciones propias instantáneas estará en la coordenada de posición desplazada Ψ norte ( X ) .

Estados propios de energía instantánea para oscilador armónico forzado
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