Oscilador armónico impulsado por una fuerza tipo delta de Dirac

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Oscilador armónico impulsado por una fuerza tipo delta de Dirac

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usuario41430

Considere que no hay amortiguamiento por simplicidad.

Como sabemos, una fuerza impulsora de la forma $\sin(\omega t)$ hará que el oscilador en estado estable vibre a la frecuencia externa $\omega$ .

¿Qué pasa con una fuerza de la forma $\delta(t-t')$ pero distribuido uniformemente en el tiempo? se llama Dirac Comb o tren de impulso.

¿Conservará la frecuencia natural o vibrará a una frecuencia $1/T$ dónde $T$ Cuál es el período entre pulsos?

Carlos Witthoft

Lo más probable es que obtenga una serie completa de sobretonos armónicos (

k * ω

$k*\omega$ ) . Puede depender mucho del sistema físico; hable con los músicos sobre esto, ya que tocar una cuerda está cerca de una función delta.

danu

Estoy bastante seguro de que esto debería ser exactamente solucionable (¡usa las funciones de Green!), ¿verdad?

usuario41430

¡Oh gracias! Creo que me respondí, pensar en puntear una guitarra me hace pensar que prevalece la frecuencia natural ya que escuchas el mismo tono aunque puntees la cuerda a algún ritmo. También resolví la DE usando transformadas de Fourier y obtuve algo como sum(1/w)sin(w(tn)), por lo que es más como una infinidad de ondas en la frecuencia natural solo con una fase diferente.

Brandon Enright

@ user41430 si ha respondido su pregunta a su satisfacción, debe publicar la respuesta.

Respuestas (2)

Oscilador armónico impulsado por una fuerza tipo delta de Dirac

Lo más probable es que obtenga una serie completa de sobretonos armónicos ( $k*\omega$ ) . Puede depender mucho del sistema físico; hable con los músicos sobre esto, ya que tocar una cuerda está cerca de una función delta.
Estoy bastante seguro de que esto debería ser exactamente solucionable (¡usa las funciones de Green!), ¿verdad?
¡Oh gracias! Creo que me respondí, pensar en puntear una guitarra me hace pensar que prevalece la frecuencia natural ya que escuchas el mismo tono aunque puntees la cuerda a algún ritmo. También resolví la DE usando transformadas de Fourier y obtuve algo como sum(1/w)sin(w(tn)), por lo que es más como una infinidad de ondas en la frecuencia natural solo con una fase diferente.
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usuario41430 · Answer 1

Bueno, finalmente lo saco.

Usé las funciones de Green y fue bastante sencillo,

Para un oscilador armónico, tienes que resolver:

$(\frac{d^2}{dt^2} + 2b\frac{d}{dt} + \omega^2)G(t-t')= \delta(t-t')$

La solución es para $t>t'$ :

GRAMO (t - t^{'}) = mi X pag (- b (t - t^{'})) \frac{pecado (ω^{'} (t - t^{'}))}{ω^{'}}

$G(t-t')= exp(-b(t-t'))\frac{\sin(\omega'(t-t'))}{\omega'}$

dónde $\omega' = \sqrt{\omega^2-b^2}$

La solucion es:

y (t) = \int F (t^{'}) mi X pag (- b (t - t^{'})) \frac{pecado (ω^{'} (t - t^{'}))}{ω^{'}} d t^{'}

$y(t)= \int{f(t')exp(-b(t-t'))\frac{\sin(\omega'(t-t'))}{\omega'}dt'}$

Usando $f(t) = \sum{\delta(t-nT)}$ la integral se vuelve súper fácil y puedes intercambiar la suma y la integral ya que la suma no depende de t':

Finalmente:

y (t) = \sum mi X pag (- b (t - norte T)) \frac{pecado (ω^{'} (t - norte T))}{ω^{'}}

$y(t)= \sum{exp(-b(t-nT))\frac{\sin(\omega'(t-nT))}{\omega'}}$

Entonces, lo que obtuvimos es tantas funciones sinusoidales como delta diracs tiene el peine, y vibrando a la frecuencia natural (como una guitarra), independientemente de si lo estás tocando con una frecuencia determinada.

Chris Müller · Answer 2

La magnitud de la función de transferencia (cantidad de vibración frente a cantidad de excitación) de un oscilador armónico con amortiguación se muestra a continuación (de este artículo de Wikipedia ). La función Delta de Dirac es blanca en el dominio de la frecuencia; lo que significa que tiene la misma excitación en todas las frecuencias. Entonces, el movimiento del oscilador armónico es simplemente el ruido blanco multiplicado por la función de transferencia. La respuesta estará dominada, como supuso, por la frecuencia resonante del oscilador.

La amortiguación hará que el movimiento desaparezca con el tiempo, por lo que golpearlo con un tren de pulsos dará sobretonos a la frecuencia de los pulsos y sus armónicos. La fuerza de los armónicos dependerá de la fuerza de la amortiguación y la fuerza de los impulsos.

Oscilador armónico TF

Si es un peine Dirac, es decir $\sum_n \delta(t - n T)$ , entonces el espectro seguramente no será blanco.

Oscilador armónico impulsado por una fuerza tipo delta de Dirac

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Carlos Witthoft

danu

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Brandon Enright

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