Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación maestra (también similar al oscilador armónico cuántico amortiguado):
dρ^dt=Γ2( 2a^ρ^a^†−a^†a^ρ^−ρ^a^†a^)
con estado coherente inicial:
ρ^( 0 ) = | α ⟩ ⟨ α |
. Mi idea era usar la función de Sudarshan y el álgebra D de Gilmore para escribir una ecuación diferencial. El primer paso es descomponer el operador de matriz de densidad en una base de estado coherente:
ρ^( t ) = ∫d2β PAG( β, t ) | β⟩ ⟨ β|
y actuar con los operadores que aparecen en la ecuación inicial:
a^ρ^a^†= ∫d2β | β|2PAG( β, t ) | β⟩ ⟨ β|
a^†a^ρ^= ∫d2β PAG( β, t ) β(β∗+∂∂β) | β⟩ ⟨ β| =∫d2β | β⟩ ⟨ β| (β∗−∂∂β) βPAG( β, t )
ρ^a^†a^= ∫d2β PAG( β, t )β∗( β+∂∂β∗) | β⟩ ⟨ β| =∫d2β | β⟩ ⟨ β| ( β−∂∂β∗)β∗PAG( β, t )
Finalmente obtenemos:
∂PAG( β, t )∂t=Γ2( β∂∂β+β∗∂∂β∗+ 2 ) pag( β, t )
Estoy bastante seguro de que la derivación es correcta porque la ecuación diferencial conserva la traza de la unidad, es decir
ddt{ _ρ^( t ) } = ∫d2β ∂PAG( β, t )∂t=Γ2∫d2β (∂∂ββPAG( β, t ) +∂∂β∗β∗PAG( β, t ) ) = 0
Mi idea ahora era usar la exponenciación y escribir la solución casi final como:
PAG( β, t ) = exp[ tΓ2( β∂∂β+β∗∂∂β∗+ 2 ) ]d( 2 )( α - β)
y luego de la definición de la función delta
d( 2 )( α - β) =1π2∫d2η mi− yoη∗(α∗−β∗)mi− yo η( α - β)
puedo escribir
PAG( β, t ) =miΓt _1π2∫d2η mi− yoη∗α2mitΓ2β∗∂β∗miiη∗β∗×mi− yo ηαmitΓ2β∂βmiyo ηβ=miΓt _d2( α - βmit Γ / 2)
El último paso se puede encontrar
aquí . al final me sale
ρ ( t ) =miΓt _| αmi− t Γ / 2⟩ ⟨ αmi− t Γ / 2|
El problema es que no conserva el rastro a medida que crece hasta el infinito. ¿Alguna idea de dónde cometí un error?