¿Cómo derivar la ecuación del período de tiempo para un sistema de masa de resorte teniendo en cuenta la masa del resorte sin involucrar el análisis de energía?

Question

¿Cómo derivar la ecuación del período de tiempo para un sistema de masa de resorte teniendo en cuenta la masa del resorte sin involucrar el análisis de energía?

El físico

Quiero saber la forma de derivar la ecuación del período de tiempo de un sistema de masa de resorte teniendo en cuenta la masa del resorte pero sin usar el método de análisis de energía sino procediendo de la misma manera que lo hacemos ignorando la masa del resorte. Por favor ayuda. No encontré ningún texto a mi nivel. Cualquier enlace sería suficiente con gratitud.

curioso

Si tomas en cuenta la masa del resorte, terminas con una ecuación de onda acoplada a una masa al final del medio elástico del resorte. El resultado de eso es un sistema que no solo tiene un período, sino todo un continuo de soluciones. Si no quiere eso, debe colocar la masa del resorte en algún lugar a lo largo del resorte. Si lo coloca en el extremo fijo, la masa del resorte no importa. Si lo coloca en el extremo de la masa, simplemente se suma a la masa. Si lo coloca en cualquier otro lugar, entonces tiene un sistema con dos resortes sin masa y dos masas, que tiene dos frecuencias, nuevamente.

El físico

Colocar la masa del resorte en cualquier lugar a lo largo del resorte como una suposición al principio produce una expresión incorrecta. Sé por el análisis de energía que la masa efectiva de todo el sistema de masa del resorte es M+(m/3), donde M es la masa del bloque adjunto y m es la del resorte. Pero quiero usar el método de integración y ecuaciones diferenciales en lugar de tomar la energía cinética y la energía potencial para ver el efecto.

curioso

Si la masa del resorte se distribuye homogéneamente a lo largo del resorte, entonces el sistema no es un oscilador armónico simple con una masa efectiva sino un medio elástico que sigue una ecuación de onda. Por lo que puedo ver, no importa lo que hagas, el tratamiento masivo efectivo es simplemente incorrecto con cualquiera de las suposiciones.

El físico

Creo que cada elemento infinitamente pequeño del resorte, tomado como una masa individual, experimenta un movimiento armónico simple. en.wikipedia.org/wiki/… y debe haber una manera de integrar esos pequeños shms para encontrar la ecuación de movimiento de todo el sistema.

curioso

Solo si además asume que M>>m Y que ninguno de los grados de libertad del resorte está excitado. Entonces puedes imaginarte reemplazando cada pequeño elemento de masa

d m

$dm$ con una barra sin masa y un elemento de masa equivalente

d \tilde{m}

$d\tilde{m}$ moviéndose con la masa principal M. Dado que los elementos de masa individuales

d m

$dm$ que están más cerca de la pared actúan sobre un resorte más corto (y por lo tanto más rígido), la masa efectiva de su contraparte virtual

d \tilde{m}

$d\tilde{m}$ moviéndose en paralelo con M debe ser más pequeño que los

d m

$dm$ que están más cerca de M. Si integras los factores de peso, deberías terminar con 1/3.

Respuestas (1)

¿Cómo derivar la ecuación del período de tiempo para un sistema de masa de resorte teniendo en cuenta la masa del resorte sin involucrar el análisis de energía?

Si tomas en cuenta la masa del resorte, terminas con una ecuación de onda acoplada a una masa al final del medio elástico del resorte. El resultado de eso es un sistema que no solo tiene un período, sino todo un continuo de soluciones. Si no quiere eso, debe colocar la masa del resorte en algún lugar a lo largo del resorte. Si lo coloca en el extremo fijo, la masa del resorte no importa. Si lo coloca en el extremo de la masa, simplemente se suma a la masa. Si lo coloca en cualquier otro lugar, entonces tiene un sistema con dos resortes sin masa y dos masas, que tiene dos frecuencias, nuevamente.
Colocar la masa del resorte en cualquier lugar a lo largo del resorte como una suposición al principio produce una expresión incorrecta. Sé por el análisis de energía que la masa efectiva de todo el sistema de masa del resorte es M+(m/3), donde M es la masa del bloque adjunto y m es la del resorte. Pero quiero usar el método de integración y ecuaciones diferenciales en lugar de tomar la energía cinética y la energía potencial para ver el efecto.
Si la masa del resorte se distribuye homogéneamente a lo largo del resorte, entonces el sistema no es un oscilador armónico simple con una masa efectiva sino un medio elástico que sigue una ecuación de onda. Por lo que puedo ver, no importa lo que hagas, el tratamiento masivo efectivo es simplemente incorrecto con cualquiera de las suposiciones.
Creo que cada elemento infinitamente pequeño del resorte, tomado como una masa individual, experimenta un movimiento armónico simple. en.wikipedia.org/wiki/… y debe haber una manera de integrar esos pequeños shms para encontrar la ecuación de movimiento de todo el sistema.
Solo si además asume que M>>m Y que ninguno de los grados de libertad del resorte está excitado. Entonces puedes imaginarte reemplazando cada pequeño elemento de masa $dm$ con una barra sin masa y un elemento de masa equivalente $d\tilde{m}$ moviéndose con la masa principal M. Dado que los elementos de masa individuales $dm$ que están más cerca de la pared actúan sobre un resorte más corto (y por lo tanto más rígido), la masa efectiva de su contraparte virtual $d\tilde{m}$ moviéndose en paralelo con M debe ser más pequeño que los $dm$ que están más cerca de M. Si integras los factores de peso, deberías terminar con 1/3.

prima · Answer 1

Necesitaba resolver la misma pregunta. Aquí esta lo que hice:-

Supongamos que tenemos un resorte de masa $M$ con una masa $m$ unido a él, suspendido contra la gravedad. Suponga que la masa del resorte se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud. Entonces, podemos imaginar nuestro manantial dividido en manantiales infinitesimalmente pequeños. Cada resorte pequeño tendrá su propia tasa de oscilación dependiendo de la masa efectiva que sienta. Suponga que la longitud del resorte se encuentra a lo largo $x$ eje con origen en la punta inferior del resorte.

Ahora, suponga que hemos comprimido completamente el resorte de modo que ya no pueda comprimirse contra su cuerpo sólido. Sea la longitud del resorte en este estado $L$ . Ahora, para un pequeño elemento de resorte ubicado a una distancia $x$ desde abajo en este estado, período de tiempo $T$ de oscilación estará dada por-

$T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{M.x}{L} +m}{k} }$

Aquí, $k$ es la constante de resorte del elemento de resorte.

Entonces, frecuencia $f$ del movimiento armónico simple puede estar dada por:

$f=\sqrt {\frac{k} {\frac{M.x}{L} +m} }$

Nos damos cuenta de que cada elemento de resorte tendrá una frecuencia de oscilación diferente. Para simplificar y aproximar, podemos imaginar que todo el resorte tiene la frecuencia del elemento del resorte ubicado en el medio del resorte.

Entonces, para el período de tiempo de toda la primavera, obtenemos-

$T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{M}{2} +m}{k} }$

Problema resuelto...!

Tenga en cuenta que esta solución será válida solo durante un breve período de tiempo después de que se permita que el resorte oscile. Por ejemplo, si dejamos oscilar el resorte durante varios minutos, comenzaremos a observar discrepancia. Pero por un período de tiempo corto desde el comienzo del experimento, los resultados serán bastante precisos.

Editar: acabo de revisar mi manual de laboratorio de física, que tiene la siguiente ecuación para $T$ :

$T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{M}{3} +m}{k} }$

Entonces, mi respuesta estuvo cerca. Mi aproximación resulta ser demasiado tosca, y en lugar de suponer que la frecuencia de todo el sistema está cerca de la del elemento de resorte a mitad de camino, podemos obtener una mejor aproximación si suponemos que es un tercio desde abajo, para el por el bien del calculo...

La ecuación en el libro también es aproximada, hay que recordar.

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curioso

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