Jugando con mi cubo de Rubik, estaba pensando en hechos que son inmediatos para los matemáticos pero novedosos para otros. Aquí hay uno:
Dado un cubo de Rubik en el estado resuelto, cualquier secuencia de movimientos, si se repite lo suficiente, eventualmente devolverá el cubo al estado resuelto.
Para un matemático, eso se sigue de "Los movimientos de un cubo de Rubik forman un grupo finito. Por lo tanto, todos los elementos tienen un orden finito".
Cada movimiento atómico del cubo de Rubik tiene orden 4. El movimiento compuesto más simple es RU (gira la cara derecha 90° en el sentido de las agujas del reloj, luego gira la cara superior 90° en el sentido de las agujas del reloj). ¿Cuál es el orden de RU?
En segundo lugar, ¿cuál es el mayor orden de un elemento en el grupo del cubo de Rubik?
Intenté repetir RU durante mucho tiempo. Perdí la cuenta (~50 repeticiones), pero finalmente volvió a casa.
Toma un cubo resuelto y haz ; luego traza la estructura del ciclo de la permutación que realiza.
La combinación mueve 5 cubos de esquina en un ciclo en el que un cubo gira un tercio de vuelta cuando vuelve a su posición original, por lo que es un factor de 15.
También tuerce la esquina FRU en un tercio de vuelta; eso también se soluciona por el factor de 15.
Luego permuta 7 aristas cíclicamente, pero esta vez cada arista tiene la orientación correcta cuando regresa.
Entonces el orden es el mínimo común múltiplo de 7 y 15, es decir, 105 .
(Para un subercubo, necesitamos otro factor de 4 para que los centros vuelvan a la orientación original).
Hace un tiempo escribí mi tesis de licenciatura sobre el elemento de mayor orden:
http://www.math.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf
De hecho, se me ocurrió un nuevo teorema para el grupo simétrico generalizado que confina, como caso especial, los órdenes dentro del cubo de Rubik y el resultado es bastante interesante. El mayor orden es 1260.
El orden de cualquier alg (secuencia de movimientos) se puede calcular comprobando los ciclos resultantes. Para cada cubo del cubo, sigue su desplazamiento. Cuando vuelva a estar en su lugar, determine si está torcido o volteado. Luego tomas el múltiplo común más pequeño de todos los ciclos. (Se debe tener un poco más de cuidado, pero esa es la idea general).
Para un cálculo rápido, puede usar https://mzrg.com/rubik/ordercalc.shtml
mjqxxxx
Brian M Scott