A mi hermano le gusta resolver cubos de Rubik. Ocasionalmente doy la vuelta a una o dos esquinas como un desafío adicional, y finalmente puede ver dónde está la esquina ilegal. El otro día, giré las ocho esquinas y el cubo se pudo resolver sin ningún giro de esquina.
Sé que el cubo de Rubik es un grupo y que un giro de esquina saca el cubo del grupo, lo que significa que no podemos transformar el cubo de nuevo en su posición completamente resuelta.
Mi pregunta es: ¿cuántas esquinas deben girarse exactamente una vez para que el cubo sea parte del grupo original que consta de todas las posiciones legales? ¿Puedo girar solo dos o quizás cuatro esquinas y crear una posición legal?
Además, ¿algún buen artículo o autor para leer para aprender sobre las matemáticas del cubo de Rubik?
Como mencionaste, girar solo una esquina (digamos, en el sentido de las agujas del reloj) da como resultado una posición que no está en el Grupo de cubos de Rubik, ¡pero girar una en el sentido de las agujas del reloj y otra en el sentido contrario sí lo está!
Si contamos un giro en el sentido de las agujas del reloj como +1 y un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj como -1, entonces resulta que mientras nuestros giros sumen 0 mod 3, entonces es una permutación legal. (Entonces, girar los ocho en el sentido de las agujas del reloj no es legal, ¿quizás giraste uno en el sentido contrario a las agujas del reloj?)
Mi referencia para el grupo del cubo de Rubik es el libro Adventures in Group Theory de David Joyner.
Si gira todas las esquinas un paso de la misma manera (es decir, por ejemplo, todas en el sentido de las agujas del reloj), la configuración resultante se puede resolver si y solo si el número de esquinas que giró es un múltiplo de tres .
Entonces, girar las ocho esquinas un paso en el sentido de las agujas del reloj no producirá una configuración solucionable.
De manera más general, el cubo seguirá siendo soluble si la diferencia entre cuántas esquinas giraste en el sentido de las agujas del reloj y cuántas esquinas giraste en el sentido contrario a las agujas del reloj es un múltiplo de tres.
Por ejemplo, girar tantas esquinas en el sentido de las agujas del reloj como en el sentido contrario producirá una configuración solucionable, porque es múltiplo de (es decir, es ).
Depende de cómo los voltees. Un giro de 1/3 en el sentido de las agujas del reloj (cuando se mira hacia la esquina desde el exterior) se denomina "quark" y, de manera similar, una rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj se denomina "antiquark". En analogía con los quarks/antiquarks "reales", puede combinar un quark y un antiquark, o puede combinar tres quarks (o tres antiquarks) y aún así dejar el cubo en un estado solucionable. Eso es IIRC.
El artículo de Hofstadter en Scientific American (ca. 1980) es una referencia y el folleto de David Singmaster sobre el cubo es otra.
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