Operadores de proyección en mecánica cuántica

Observe que la probabilidad de medir digamos la posición de una partícula cuya función de onda es$\psi(x)$en el intervalo$I=(a,b)$es

$$\int_a^b \left|\psi(x)\right|^2 \mathrm{d}x.$$

Podemos definir un operador de multiplicación en el espacio de estado muy parecido al operador de posición$\hat{X}\psi(x)=x\psi(x)$como sigue.

$P_I(\psi)=\chi_I(x)\psi(x)$. Es una proyección ya que$\chi_I(x)^2=\chi_I(x)$para todos$x$, desde$0^2=0$y$1^2=1$. Entonces$P_I^2(\psi)=P_I \psi$, luego tomando la$L^2$producto interno da:

$$\langle\psi,P_I \psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty \psi(x)^*\chi_I(x)\psi(x)\mathrm{d}x=\int_a^b \left|\psi(x)\right|^2 \mathrm{d}x$$

Entonces, de hecho, es la medida como se mencionó anteriormente.

La medida que se está realizando aquí es "¿la partícula está en algún lugar entre$a$y$b$", de los cuales los resultados son "sí" o "no". Si es así, entonces por los postulados de medición la función de onda colapsa a

$$\frac{P_I \psi}{\sqrt{\strut\langle\psi,P_I\psi\rangle}}=\frac{\chi_I(x)\psi}{(\int_a^b \left|\psi(x)\right|^2 \mathrm{d}x)^{1/2}}$$

para que el resultado se normalice correctamente.

Si el resultado fuera "no", entonces el estado se proyectaría en el subespacio complementario que estaría dado por$1-P_I$que también es un operador de proyección. Así el estado se derrumba a:

$$\frac{(1-P_I) \psi}{\sqrt{\strut\langle\psi,(1-P_I)\psi\rangle}}=\frac{(1-\chi_I(x))\psi}{(1-\int_{a}^b \left|\psi(x)\right|^2 \mathrm{d}x)^{1/2}}$$

de nuevo debidamente normalizado, y usando$\langle\psi, \psi \rangle=1$.

Sí, también podrías definir$\hat{P}_I$para$\hat{\psi}(k)$de manera similar donde$I$ahora sería un intervalo en el espacio de cantidad de movimiento.

$\chi_I$es un número, no un operador, no se confunda$\chi_I$con el operador de proyección. Todo este formalismo es realmente muy simple en este caso.

$P_I$es un operador de proyección sobre el espacio de estados que corresponde a una partícula que se encuentra dentro del intervalo$I$. Supongamos que vivimos en un espacio discreto por el momento para que podamos trabajar con representaciones explícitas de$\psi$.

Digamos que vivimos en una red con 10 sitios etiquetados del 1 al 10, y dejemos$I = [2, 5]$. La función de onda para una partícula en el espacio de posición es

$\psi = a_1 |1> + a_2 |2> + ... + a_{10} |10>$,

donde el$a_i$son las amplitudes para encontrar la partícula en la posición$i$.

Aparte, no hay diferencia entre$\psi$y$|\psi>$aquí, es conveniente mirar para envolver$\psi$entre paréntesis para indicar los valores esperados. También puede pensar en un vector de columna de 10 componentes donde cada componente es un$a_i$. Estos son todos los mismos objetos.

Dada la notación utilizada anteriormente, el operador de proyección toma cualquier$\psi$y mete 0 en todos los componentes que no corresponden a$\{|2>,|3>,|4>,|5>\}$dejando los demás componentes iguales. Una forma explícita de escribir esto es

$P_I = 0*|1><1| + 1*|2><2| + 1*|3><3| + ... + 0 |10><10|$.

También podría calcular la forma matricial en el caso de usar un vector de columna para representar$\psi$.

Generalmente, en la mecánica cuántica, las medidas pueden ser descritas por dichos operadores. La acción de una medida sobre una función de onda es

$|\psi> \rightarrow \hat{O} |\psi>$

dónde$\hat{O}$es un operador de proyección correspondiente a alguna medida. Esto muestra explícitamente el "colapso" de la función de onda, ya que después de la medición, sabemos que los estados que dan otros resultados de medición no pueden ser el estado de la partícula. Esto se refleja en el hecho de que$\psi$tiene componentes no compatibles con la medición (en este caso, encontrar la partícula en el intervalo) volvió a 0 después de haber actuado con$\hat{O}$.

La regla de Born establece que el valor esperado de una medida en estado puro$\psi$es

$<\psi| \hat{O} |\psi>$

para un operador de medida$\hat{O}$, esto es lo que estaba tratando de citar cuando dio la probabilidad de "sí". Pero lo que escribiste estuvo mal porque no actuaste$\psi$con un operador de medida en lugar de eso simplemente multiplicaste$\psi$por un número

La parte de la función de onda que corresponde a una medida sí es la proyección del estado sobre los puntos en el espacio en el intervalo.

El caso continuo es completamente análogo, excepto que ahora no podemos escribir un buen vector columna ya que tendría infinitas componentes. En lugar de tener un conjunto discreto de$a_i$, en su lugar tomamos una función$\psi(x)$sobre un conjunto continuo de valores$x$.

Sin embargo, las ideas fundamentales son más claras en el caso discreto, y todas las propiedades algebraicas se pueden ver mucho más claramente de esa manera.

Para cualquier operador autoadjunto$A$(con espectro continuo o discreto), el llamado teorema espectral te dice que hay una única familia$(P_{\lambda}(A))_{\lambda\in\mathbb{R}}$de proyecciones ortogonales (llamada familia espectral) tales que$P_{\lambda_2}(A)-P_{\lambda_1}(A)$te da la proyección en el subespacio con espectro en el intervalo$[\lambda_1,\lambda_2]$(por supuesto que estoy asumiendo aquí$\lambda_2>\lambda_1$).

Otra notación común es$\chi_{[\lambda_1,\lambda_2]}(A)=P_{\lambda_2}(A)-P_{\lambda_1}(A)$. Por supuesto esto coincide con la función característica habitual del puesto.