¿Por qué los operadores no hermitianos con todos los valores propios reales no corresponden a los observables? [duplicar]

Supongamos que pudiera construir un operador que no fuera hermitiano pero que tuviera todos los valores propios reales o que al menos pudiera restringirse para crear solo valores propios reales, ¿por qué este operador no correspondería a una cantidad observable?

Tales cosas existen. Consulte Mecánica cuántica simétrica de PT: arxiv.org/pdf/quant-ph/0501052v1.pdf
Además, ¿puede ser un posible duplicado del operador no hermitiano con valores propios reales?

Respuestas (2)

Después de la medición, desea que los espacios propios sean ortogonales (y que la proyección en el espacio propio se enrede con un estado del dispositivo de medición).

Así que quieres que los diferentes espacios propios sean ortogonales. Y desea poder evolucionar a un estado posterior a la medición que tenga los tipos correctos de estados. Así que realmente se trata de los tipos de estados finales a los que puedes evolucionar. Así que eso es lo que quieres, hablemos de por qué tu propuesta no te da eso.

El hecho de que los vectores propios sean reales no significa que los vectores propios con diferentes valores propios sean ortogonales.

La descomposición ortogonal es lo primero esencial que desea. El requisito de que los valores propios sean reales no es tan importante, es posible que incluso desee modelar la descomposición (deficientemente) con una energía compleja. Pero aún desea que los diferentes espacios propios sean ortogonales.

Y quieres más que eso. Realmente desea que los vectores propios contengan un conjunto ortonormal máximo, y para un conjunto máximo de operadores conmutados obtiene un conjunto único, el conjunto de vectores propios mutuos.

Y es después de tener esto que puedes, por ejemplo, finalmente sacar a relucir la teoría de la probabilidad (y hacer un espacio muestral y todo eso).

Ahora hay toda una rama de la física (con miles de artículos) basada en los operadores que mencionas. Pero cuando llega el momento de hacer la probabilidad y calcular los valores esperados, ellos ... cambian la geometría ... haciendo que los espacios propios sean ortogonales en la nueva geometría, haciendo que los operadores sean exactamente los operadores normales (juego de palabras no intencionado).

Entonces, considerar operadores no hermitianos no le da nada al final. Para obtener la parte de la probabilidad, elige una geometría en la que los observables sean hermitianos de todos modos, por lo que podría haber trabajado con esa geometría y los operadores hermitianos en ella. Ahora, no necesariamente lo hace incorrecto si obtiene las respuestas correctas y si hacerlo de una manera particular resulta ser computacionalmente más fácil o agradable, entonces es bueno para usted. Pero la no ortogonalidad de los vectores propios es un problema.

Y dado que mencioné operadores hermitianos y no hermitianos, creo que es un buen momento para señalar que cuando busca una geometría para hacer que los vectores propios sean ortogonales, podría estar haciendo esto porque está buscando un operador autoadjunto en lugar de solo apuntando a un operador hermitiano. Principalmente en ese frente, solo quería que supieras que ambos están ahí fuera. Y tener valores propios reales tampoco te dará si los vectores propios no son ortogonales.

No he visto un artículo que diga que cualquier operador autoadjunto tenga una realización experimental. Por lo tanto, podría ser más fácil catalogar cómo las cosas no funcionan en lugar de pensar que cada operador lo suficientemente bueno puede medirse.

Hay operadores autoadjuntos sin vectores propios o con vectores propios que no forman una base ortonormal. Y no en algún entorno matemático oscuro, es suficiente tomar una partícula en un potencial no confinante (por ejemplo, un potencial de paso, un pecado potencial, sin potencial,...). La autoadjunción es una condición necesaria pero no suficiente para tener una base ortonormal de vectores propios. Por otro lado, la autoadjunción del hamiltoniano es suficiente para la existencia y unicidad de la dinámica unitaria.
O más en general, la autoadjunción del generador es suficiente para tener una representación unitaria del grupo de simetría. Por lo tanto, su respuesta, que implica que la autoadjunción es suficiente para obtener bases ortonormales de vectores propios, es muy imprecisa. Lamentablemente, QM general se establece en espacios dimensionales infinitos y allí los operadores lineales no son matrices. Además, el llamado espectro continuo (aquel en el que no existen vectores propios) está relacionado con la existencia de estados no ligados, mientras que el espectro discreto está asociado a estados ligados. Y eso es muy importante en física.
Como he experimentado a menudo, siempre estás dispuesto a criticar las respuestas de los demás. Pero primero debe preocuparse por la calidad de sus propias respuestas.
@yuggib Me disculpo si mi publicación no fue clara. Traté de decir que podría estar buscando un vector propio ortogonal porque está apuntando a un auto adjunto en lugar de apuntar a Hermitian, no estaba diciendo que eso fuera suficiente. he editado Y nunca dije que esta fuera una buena respuesta. El primer párrafo es la respuesta y es bastante pobre, el resto fue solo una crítica y un intento de señalar la literatura y el trabajo anterior. Sospeché que la pregunta ya se había hecho antes y desarrollar el primer párrafo sería la mejor manera de responder. Ser conciso allí significaba que alguien más podía ampliar su propia respuesta.
@yuggib Sigue siendo una mala respuesta, incluso después de que la edité para evitar que malinterpretes lo que quise decir. Cuando tenga tiempo, intentaré editarlo para que quede mejor. Y los comentarios sobre cómo hacer mejores respuestas para la cita siempre son bienvenidos. Si no está de acuerdo conmigo en que lo que queremos es una base ortogonal de vectores propios, entonces tendría que decirme por qué (o escribir su propia pregunta) y si tiene sugerencias sobre mi respuesta, tendría que darlas (Yo ya edité la mención de auto adjunto para que sea más claro, ya que debe haber sido poco claro si lo leyó mal como lo hizo).
Estoy de acuerdo en que nos gustaría mucho tener una base ortogonal de vectores propios; pero hay situaciones concretas en las que no es posible incluso para operadores autoadjuntos. En mi opinión (pero eso es solo mi opinión), la autoadjunción es más relevante porque está relacionada con la unitaridad de la dinámica. De todos modos, no creo que haya un consenso completo al respecto.

1) Si todos los valores propios de un operador son reales, entonces es hermitiano. Puedes ver esto escribiendo el operador (llámalo A) en la base del vector propio. Entonces A tiene todos los valores propios reales a lo largo de su diagonal y ceros en todo lo demás. Por lo tanto, A † = A lo que significa que es hermitiano.

2) Muchos de los operadores que llamamos "observables" son los generadores de transformaciones. Por ejemplo: J (momento angular) es el generador de rotaciones mi i θ j , P es el generador de traslaciones mi i X PAG , y H es el generador de la traslación del tiempo mi i t H . Si estas transformaciones van a ser unitarias para conservar la probabilidad, entonces el generador debe ser hermitiano. Por ejemplo, medias unitarias (donde θ , X , t Son reales):

( mi i X PAG ) † mi i X PAG = I
mi − i X PAG † mi i X PAG = I
− PAG † + PAG = 0

por lo tanto, P es hermitiano.

También necesita que el operador sea diagonal en una base ortonormal.
Esta respuesta es incorrecta, ¿por qué la gente vota?
Para aclarar el comentario de Javier: por las razones en la respuesta de Timeo, solo cambias la base a través de transformaciones ortonormales. Pero no todos los operadores con valores propios reales pueden ser diagonalizados por tal transformación. Por lo tanto, su primera declaración es incorrecta; los valores propios reales son una condición necesaria pero no suficiente de la autoadjunción. Usa la matriz ( 2 3 4 5 ) como un ejemplo simple: tiene valores propios reales, pero no es hermitiano.
Sí, mi respuesta fue incorrecta. Como señalaron los observadores más astutos, los valores propios reales no son suficientes por sí mismos para hacer que el operador sea hermitiano. Los vectores propios del operador también deben ser ortogonales entre sí. Esto lo asumí inconscientemente cuando puse los valores propios en la diagonal y asumí que todos los demás elementos eran cero.
De hecho, en la parte 2 de mi respuesta, nuevamente asumí que el operador P era diagonalizable, por lo que en la segunda ecuación [ PAG † , PAG ] = 0 y podría deslizarlos en el mismo exponente.
¿Por qué los operadores no hermitianos con todos los valores propios reales no corresponden a los observables? [duplicar]
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