Probabilidad de medir dos observables en un estado mixto

Question

Probabilidad de medir dos observables en un estado mixto

Física
operadores
observables
mediciones
mecánica cuántica

espectador

Digamos que tengo matriz de densidad en la base habitual

ρ = (\begin{array}{cccc} \frac{3}{14} & \frac{3}{14} & 0 & 0 \\ \frac{3}{14} & \frac{3}{14} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{4}{7} \end{array})

$\rho = \left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{14} & \frac{3}{14} & 0 & 0 \\ \frac{3}{14} & \frac{3}{14} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{4}{7} \\ \end{array} \right)$

de estos dos estados

| v_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); | v_{2} ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$|v_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right);|v_2\rangle=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ con pesas

\frac{3}{7}

$\frac{3}{7}$ y

\frac{4}{7}

$\frac{4}{7}$ respectivamente

Y dos observables A y B

A = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array})

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)$

B = (\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array})

$B=\left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right)$

si mides $A$ y $B$ a la vez lo que haces es medir $A$ con algo de estado y medida $B$ con no necesariamente el mismo estado pero puede ser el mismo.

Entonces, si estoy tratando de medir la probabilidad de medir 2 y 4, eso es $p(2)\times p(4)$ ?

Eso es $p(2) = \frac{4}{7}$ y $p(4) = \frac{11}{14}$ entonces obtener los dos al mismo tiempo es $\frac{4}{7}\times\frac{11}{14} = \frac{22}{49}$

Lo que me confunde es, ¿por qué es inferior a $\frac{4}{7}$ , desde $|v_2\rangle$ tiene esa posibilidad de medirse, el otro estado simplemente suma posibilidades de medir 4 con B.

¿Qué está pasando realmente aquí?

usuario1504

pista: hacer

A

$A$ y

B

$B$ ¿desplazarse?

espectador

Sí lo hacen, no veo lo que estás tratando de decir.

Jared

Tengo una respuesta, pero creo que me estoy perdiendo algo aquí. Cuando dices la "probabilidad de medir

2

$2$ y

4

$4$ "¿Te refieres a la probabilidad de obtener

2

$2$ para la medida

A

$A$ y

4

$4$ para la medida

B

$B$ ? si es asi no entiendo como se te ocurre

p (4) = \frac{11}{14}

$p(4) = \frac{11}{14}$ ...me parece que la única forma de conseguirlo es estar en estado

| v_{2} ⟩

$\left|v_2\right\rangle$ .

espectador

Lo que quiero decir con eso es que la probabilidad de medir A y B al mismo tiempo te da 2 y 4.

p (4) = T r (ρ Λ)

$p(4)=Tr(\rho \Lambda)$ dónde

Λ

$\Lambda$ es el proyector para valor propio 4

Respuestas (1)

Probabilidad de medir dos observables en un estado mixto

Tengo una respuesta, pero creo que me estoy perdiendo algo aquí. Cuando dices la "probabilidad de medir $2$ y $4$ "¿Te refieres a la probabilidad de obtener $2$ para la medida $A$ y $4$ para la medida $B$ ? si es asi no entiendo como se te ocurre $p(4) = \frac{11}{14}$ ...me parece que la única forma de conseguirlo es estar en estado $\left|v_2\right\rangle$ .
Lo que quiero decir con eso es que la probabilidad de medir A y B al mismo tiempo te da 2 y 4. $p(4)=Tr(\rho \Lambda)$ dónde $\Lambda$ es el proyector para valor propio 4

celtschk · Answer 1

Si está midiendo ambos observables al mismo tiempo (lo cual es posible, ya que los dos observables se conmutan), entonces debe hacer una medición que mida ambas cantidades. Por lo tanto, la medición debe dar como resultado uno de los estados propios comunes de $A$ y $B$ . Ahora resulta que $A$ y $B$ tienen un conjunto común único de estados propios, que son solo los estados base. Por lo tanto, las probabilidades son solo los elementos diagonales de la matriz de densidad, es decir (nombrando $a$ el resultado de la medida de $A$ y $b$ el resultado de la medida de $B$ ):

\begin{aligned} pag (a = 1 \land b = 3) & = \frac{3}{14} \\ pag (a = 1 \land b = 4) & = \frac{3}{14} \\ pag (a = 2 \land b = 3) & = 0 \\ pag (a = 2 \land b = 4) & = \frac{4}{7} \end{aligned}

$\begin{aligned} p(a=1 \land b=3) &= \frac{3}{14}\\ p(a=1 \land b=4) &= \frac{3}{14}\\ p(a=2 \land b=3) &= 0\\ p(a=2 \land b=4) &= \frac{4}{7} \end{aligned}$ Tenga en cuenta que

p (a = 2 \land b = 4) \neq p (a = 2) \cdot p (b = 4)

$p(a=2 \land b=4) \ne p(a=2)\cdot p(b=4)$ ya que los eventos no son independientes entre sí. Pero eso no es específicamente cuántico; Si usted sabe

a = 2

$a=2$ , eso ya lo sabes

b

$b$ debe ser

4

$4$ , mientras que de aprender

a = 1

$a=1$ no aprende nada sobre el resultado de la medición

b

$b$ . La teoría clásica de la probabilidad ya te dice que en ese caso, la fórmula del producto para las probabilidades no se cumple.

De hecho, dado que hay una sola medida combinada, podría dividir la medida en dos pasos; primero haciendo la medición (que produce los valores para $a$ y $b$ ), y luego, leer los resultados de la medición (que es un proceso completamente clásico, descrito por la teoría de probabilidad ordinaria).

no entiendo como llegas $b = 3$ . Estoy de acuerdo que $\left\langle v_2 \right| B \left|v_2\right\rangle = 4$ (y del mismo modo que $\left\langle v_2 \right| A \left|v_2\right\rangle = 2$ ), pero no $\left\langle v_1 \right| B \left|v_1\right\rangle = \frac{7}{2}$ , no $3$ ?
no estas midiendo $|v_1\rangle$ o $|v_2\rangle$ , estás midiendo $A$ y $B$ . Especialmente, por los postulados de la mecánica cuántica, toda medida de $B$ da un valor propio de $B$ como resultado. Los únicos valores propios de $B$ son $2$ y $4$ , por lo que esos son los valores que puede obtener como resultado. $\langle v_2|B|v_2\rangle$ es el valor de medición promedio de $B$ al hacer mediciones repetidas , siempre que el estado original sea $|v_2\rangle$ (pero en su caso, el estado no es $|v_2\rangle$ , pero el estado mixto que mencionas. Allí el valor de medición promedio de $B$ es dado por …
… $\operatorname{tr}(B\rho)=53/14$ que, no por casualidad, es igual $3 p(b=3) + 4 p(b=4) =$ $3 \left(p(a=1 \land b=3) + p(a=2 \land b=3)\right) + 4 \left(p(a=1 \land b=4) + p(a=2 \land b=4)\right)$ .)
Lo que entiendo de lo que dices es que la medida de A y B se realiza en el mismo estado para ambos observables, por lo tanto, la única forma de medir 2 y 4 es si estamos midiendo en $|v_2\rangle$ , ya que hay un $\frac{4}{7}$ peso en este estado, la probabilidad es solo la probabilidad de medir $|v_2\rangle$ es $p({a=2}$ ^ ${b=4}) = \frac{4}{7}$ o simplemente podemos mirar $\rho$ y ver la probabilidad de medir eso como dijiste.
El estado que estás midiendo está dado por $\rho$ . Puede haber, o no, un $|v_1\rangle$ o $|v_2\rangle$ "subyacente" a ese estado mixto $\rho$ . A la mecánica cuántica simplemente no le importa cómo lo produjiste. pero si, si $\rho$ se crea eligiendo al azar entre $|v_1\rangle$ y $|v_2\rangle$ , entonces dos medidas hechas al mismo tiempo necesariamente se hacen también en el mismo de los dos estados. Pero de nuevo, en realidad no importa. Puede obtener el mismo estado mixto de infinitas maneras, y todas ellas son indistinguibles mediante mediciones cuánticas. Lo que mides es justo $\rho$ .

Probabilidad de medir dos observables en un estado mixto

espectador

usuario1504

espectador

Jared

espectador

Respuestas (1)

celtschk

Jared

celtschk

celtschk

espectador

celtschk

¿Por qué los operadores no hermitianos con todos los valores propios reales no corresponden a los observables? [duplicar]

¿Operador no hermitiano con valores propios reales?

¿Por qué los operadores pueden representarse como matrices en la mecánica cuántica?

¿El valor esperado es siempre un valor propio?

¿Se cumple la ecuación de incertidumbre de Heisenberg cuando uno de los observables tiene varianza cero?

¿Cómo conduce la no conmutatividad a la incertidumbre?

¿Hay un operador de tiempo en la mecánica cuántica?

Operadores simétricos, (esencialmente) autoadjuntos y el teorema espectral

El papel dual de los operadores (anti-)hermitianos en la mecánica cuántica

Valores propios, operadores hermitianos y observables en mecánica cuántica