¿Hay algún resultado sobre la regularidad de las funciones propias generalizadas utilizadas en las representaciones espectrales de operadores diferenciales ilimitados?

Estoy usando la versión "integral directa" del teorema espectral, como se indica, por ejemplo, en Hall . Dice que una representación diagonal para un operador ilimitado en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R}^n)$se puede construir como una "integral directa", o

$$\mathcal{H}_{\hat{A}} = \int^\oplus_{\sigma(\hat{A})}d\mu(a) \mathcal{H}_a.$$

Los estados en el espacio de Hilbert se forman como "secciones" cuadradas integrables, o como funciones de$a$con valores en los espacios de Hilbert$\mathcal{H}_a$. Desde el$\mathcal{H}_a$los espacios no son verdaderos subespacios, los vectores en ellos no están realmente en$\mathcal{H}$, también lo son "vectores propios generalizados". Se pueden definir como un funcional en un subconjunto denso del espacio de Hilbert por medio de

$$v \in \mathcal{H}_a: \; \psi(a^\prime) \; \mapsto (\psi(a),v) \in \mathbb{C},$$

que luego, por supuesto, puede extenderse de nuevo a las funciones en$L^2(\mathbb{R}^n)$. Estoy bastante seguro de que los resultados de este capítulo pueden usarse para demostrar que si$\hat{A}$está en el álgebra generada por$\hat{x}$y$\hat{p}$entonces estos funcionales serán necesariamente distribuciones temperadas.

Ahora, lo específico$\hat{A}$Lo que me interesa es un operador diferencial en$L^2(\mathbb{R}^{3\oplus1})$. (Específicamente, es el operador "similar a Klein-Gordon" que se usa para partículas de espín medio en un campo electromagnético aplicado, formado al elevar al cuadrado el operador de Dirac). Lo que realmente me gustaría poder hacer es, dado que$\hat{A}$es un operador diferencial, use algunos resultados sobre PDE en estos vectores propios generalizados.

Esto, sin embargo, requiere algunas nociones sobre la regularidad de las funciones propias generalizadas, que simplemente no he podido encontrar. Mi problema es que el operador$\hat{A}$Estoy usando Hiperbólico de segundo orden, por lo que no hay muchos buenos resultados sobre la regularidad en la literatura matemática de PDE para mí. Esto parece deberse a que el mero hecho de que$\psi$obedece a la ecuación diferencial$(\hat{A}-a)\psi=0$no es suficiente para imponer ningún tipo de regularidad, por una razón similar que$\delta(x-ct)$es una solución a la ecuación de onda. Creo que, por lo tanto, necesito regularidad reforzada por el uso de la solución a la ecuación diferencial como una función propia generalizada, o como un estado base en la representación espectral integral directa.

Me doy cuenta de que esto podría ser una posibilidad un poco remota, pero he luchado durante días para encontrar ese resultado, y sería extremadamente útil para mí. ¿Alguien sabe de alguna literatura que trate esta cuestión de la regularidad de la base de las representaciones espectrales de los operadores diferenciales?