Operadores de campo de Schrödinger y sus relaciones de conmutación

Tengo varias preguntas sobre la llamada segunda cuantización de la ecuación de Schrödinger.

Mi profesor introdujo los operadores de campo para el campo de Schrödinger simplemente enunciándolos de la siguiente manera:

ψ ^ ( r → , ξ ) = ∑ i ψ i ( r → , ξ ) a ^ i ψ ^ † ( r → , ξ ) = ∑ i ψ i ⋆ ( r → , ξ ) a ^ i †
Dónde ψ i ( r → , ξ ) son las funciones de onda de una partícula independientes del tiempo y a ^ i , a ^ i † los correspondientes operadores de creación y aniquilación.

¿Hay alguna manera de explicar por qué uno hace esto? Si entendí correctamente lo que me han enseñado hasta ahora, en QFT uno debe encontrar alguna forma de cuantificar los campos que obedecen a la ecuación de campo en cuestión. Sin embargo, no entiendo muy bien por qué en este caso particular se hace así.

¿No debería el ψ i ( r → , ξ ) ser las funciones de onda de una partícula dependientes del tiempo? Porque pensé que los operadores de campo para un sistema en una caja se ven así:

ψ ^ ( r → , ξ ) ∼ ∫ d 3 k   Exp ⁡ ( i ω k t − i k → X → ) a ^ k

Mi profesor procedió entonces a demostrar las relaciones de (anti)conmutación entre los operadores de campo, postulando las correspondientes relaciones entre los operadores de creación y aniquilación fermiónicos o bosónicos:

[ ψ ^ ( r → , ξ ) ; ψ ^ † ( r → ′ , ξ ′ ) ] ± = [ ∑ i ψ i ( r → , ξ ) a ^ i ; ∑ j ψ j ⋆ ( r → ′ , ξ ′ ) a ^ j † ] ± = ∑ i ψ i ( r → , ξ ) ψ i ⋆ ( r → ′ , ξ ′ ) = d ( r → − r → ′ ) d ξ , ξ ′
Aquí no entiendo el último paso. ¿Es posible esa conclusión? ¿Y no se deberían o no se podrían postular las relaciones de conmutación entre los operadores de campo y llegar a las relaciones para los operadores de creación y aniquilación?

Respuestas (3)

¿No es esto simplemente la relación de cierre ∑ i ψ i ( r , ξ ) ψ i ∗ ( r ′ , ξ ′ ) =< r , ξ | { ∑ i | ψ i >< ψ i | } | r ′ , ξ ′ >=< r , ξ | r ′ , ξ ′ > ?

Te recomiendo que eches un vistazo al libro "Mecánica cuántica avanzada" de F. Schwabl. ¡En el capítulo "1.5 Operadores de campo" describe exactamente lo que está preguntando!

Si entendí correctamente lo que me han enseñado hasta ahora, en QFT uno debe encontrar alguna forma de cuantificar los campos que obedecen a la ecuación de campo en cuestión.

Esto es correcto. En este caso particular, comienza con el Lagrangiano que tiene la ecuación de Schrödinger como su MOE. El siguiente resulta ser el correcto:

L = i ψ ∗ ∂ t ψ − 1 2 METRO ( ∂ j ψ ∗ ) ( ∂ j ψ ) .

(el j se suman). Ahora, para cuantificar, podemos proceder de la manera que sugirió, es decir, imponer CCR en el campo ψ y ψ ∗ y luego expresarlos en términos de los operadores de creación y aniquilación. Aquí resulta que puedes definir los operadores de creación y aniquilación para que sean la transformada de Fourier de los campos. ψ y ψ † , ya que puede demostrar que las transformadas de Fourier obedecen a las mismas relaciones de conmutación que necesitan los operadores de creación y aniquilación, es decir

[ ψ ^ ( k ) , ψ ^ † ( k ′ ) ] = ( 2 π ) 3 d ( k − k ′ ) .

Aunque una cosa que no estoy seguro de por qué hizo su profesor fue la suma en lugar de la integración, ya que los operadores de creación y aniquilación generalmente dependen de un grado continuo de libertad k y por lo tanto necesitan ser integrados. Es decir, si tuviera que adoptar ese enfoque, podría postular que

ψ ( X ) = ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 mi i k ⋅ X a k ,

y de ahí demostrar que ψ y ψ † obedecer las relaciones de conmutación correctas si impongo las relaciones de conmutación para el a 's.

Operadores de campo de Schrödinger y sus relaciones de conmutación
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