Estado de Fock y relaciones correspondientes para la etiqueta de momento continuo

En el contexto de, por ejemplo, un solo campo escalar real masivo en la teoría cuántica relativista de campos, los operadores$a(\mathbf k)$y$a^\dagger(\mathbf k)$crear y aniquilar cuantos con impulso$\mathbf k$.

Sigamos la notación de Eric D'Hoker dada en sus notas de clase . Ver especialmente la sección 4.1. En particular, usamos las relaciones de conmutación entre los operadores de creación y aniquilación:

$$\begin{align} [a(\mathbf k), a^\dagger(\mathbf k')] &= 2\pi^3\omega_\mathbf k\delta^{(3)}(\mathbf k - \mathbf k'), \qquad \omega_\mathbf k = \sqrt{\mathbf k^2 + m^2} \\ [a(\mathbf k), a(\mathbf k')]&=0 \\ [a^\dagger(\mathbf k), a^\dagger(\mathbf k')] &= 0 \end{align}$$ Si $|0\rangle$denota el vacío, entonces $a(\mathbf k)|0\rangle = 0$, es decir, el vacío es aniquilado por los operadores de destrucción. Entonces podemos definir un estado que contiene un cuanto de cantidad de movimiento $\mathbf k$aplicando el operador de creación correspondiente a ese impulso al vacío; $$\begin{align} |\mathbf k\rangle= a^\dagger(\mathbf k)|0\rangle \end{align}$$ También podemos generar estados con $n$quantua aplicando una secuencia de $n$operadores de creación al vacío $$\begin{align} |\mathbf k_1, \mathbf k_2, \dots, \mathbf k_n\rangle = a^\dagger(\mathbf k_n)\cdots a^\dagger(\mathbf k_2) a^\dagger(\mathbf k_1)|0\rangle \end{align}$$ Si aplicamos un operador de aniquilación a un estado cuántico único, obtenemos $$\begin{align} a(\mathbf k')|\mathbf k\rangle &=a(\mathbf k')a^\dagger(\mathbf k)|0\rangle \\ &= \Big(a^\dagger(\mathbf k)a(\mathbf k')|0\rangle-[a^\dagger(\mathbf k),a(\mathbf k')]\Big)|0\rangle \\ &= 2\pi^3\omega_\mathbf k \delta^{(3)}(\mathbf k' - \mathbf k)|0\rangle \end{align}$$ y de manera similar para estados multicuánticos.