Conmutador cuántico

Question

Conmutador cuántico

MiUsuarioEsEste

Me dan este conmutador:

[PAG X PAG, PAG]

$\left[PXP,P\right]$ Ser

P ψ = - i ℏ \partial_{x} ψ

$P\psi=-i\hbar\partial_x\psi$ , y

X ψ = x ψ

$X\psi=x\psi$

Lo he resuelto de dos formas, la primera es simplemente aplicando el conmutador a alguna función $\psi$ y ver lo que obtengo. Mi resultado final es:

[PAG X PAG, PAG] = - i ℏ^{3} \partial_{X X}

$\left[PXP,P\right]=-i\hbar^3\partial_{xx}$ El segundo está usando algunas propiedades del conmutador:

[PAG X PAG, PAG] = - [PAG, PAG X PAG] = - (PAG [PAG, X PAG] + [PAG, PAG] X PAG)

$\left[PXP,P\right]=-\left[P,PXP\right]=-(P\left[P,XP\right]+\left[P,P\right]XP)$

[P, P] = 0

$\left[P,P\right]=0$ , por lo que el segundo término desaparece. Nuevamente amplío el primer término:

- PAG [PAG, X PAG] = - PAG (X [PAG, PAG] + [PAG, X] PAG) = - PAG [PAG, X] PAG = i ℏ {PAG}^{2} = - i ℏ^{3} \partial_{X X}

$-P\left[P,XP\right]=-P(X[P,P]+[P,X]P)=-P[P,X]P=i\hbar P^2=\boxed{-i\hbar^3\partial_{xx}}$

Vuelvo a obtener el mismo resultado. Cuando el profesor lo resolvió en clase, el resultado final fue:

[PAG X PAG, PAG] = 2 i ℏ {PAG}^{2}

$\left[PXP,P\right]=2i\hbar P^2$ no tengo idea de donde es eso

2

$2$ viene de. ¿Me estoy perdiendo de algo? ¿Estoy haciendo algo mal?

Respuestas (3)

Conmutador cuántico

joshfísica · Answer 1

Tu maestro parece haber cometido un error. Me imagino que él/ella hizo algo como esto:

\begin{aligned} [PAG X PAG, PAG] & = PAG [X PAG, PAG] + [PAG X, PAG] PAG \\ = PAG (X [PAG, PAG] + [X, PAG] PAG) + (PAG [X, PAG] + [PAG, PAG] X) PAG \\ = PAG [X, PAG] PAG + PAG [X, PAG] PAG \\ = 2 i ℏ {PAG}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} [PXP, P] &= P[XP,P]+[PX,P]P \\ &= P(X[P,P]+[X,P]P)+(P[X,P]+[P,P]X)P \\ &= P[X,P]P+P[X,P]P \\ &= 2i\hbar P^2 \end{align}$ Observe que la primera igualdad es incorrecta. ¡No puede despegar operadores a la izquierda y a la derecha si hay tres operadores en la primera ranura del conmutador!

+1 La conclusión de @MyUserIsThis fue obviamente correcta, pero no pude ver qué tipo de error podría haber dado un $2$ . Como verificación adicional para el OP, usando $[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B$ aparentemente es la identidad que el maestro trató de usar, que aplicada dos veces daría $[PXP,P] = P[XP,P] + [P,P]XP = PX[P,P] + P[X,P]P = i\hbar P^2$ .

chicosoft · Answer 2

Creo que tienes razón. Usando matemáticas de conmutador realmente simples. Todo lo que necesitas es esto:

[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B

$[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B$ Entonces en tu caso:

A = PAG

$A=P$

B = X PAG

$B=XP$

C = PAG

$C=P$

[PAG X PAG, PAG] = PAG X [PAG, PAG] + [PAG, PAG] X PAG = PAG X [PAG, PAG] + PAG [X, PAG] PAG + [PAG, PAG] X PAG

$[PXP,P] = PX [P,P] + [P,P]XP = PX[P,P] + P[X,P]P + [P,P] XP$ Como dijiste, [P,P] es antisimétrico consigo mismo y, por lo tanto, podemos eliminar todos los términos [p,p]. Entonces nos queda sólo un término:

[PAG X PAG, PAG] = PAG [X, PAG] PAG

$[PXP,P] = P[X,P]P$ y como saben (definimos los operadores para que hagan esto)

[X, PAG] = i ℏ

$[X,P]= i \hbar$

Entonces podemos escribir:

PAG (i ℏ) PAG

$P(i \hbar) P$ . Podemos sacar el escalar así:

[PAG X PAG, PAG] = i ℏ {PAG}^{2}

$[PXP,P] = i \hbar P^2$

No puedo encontrar nada malo en ninguno de mis pasos, así que estoy bastante seguro de que el 2 no debería estar allí.

Tim Crosby · Answer 3

Ambas respuestas son correctas pero puedes hacerlo sin reglas aunque son básicas

$[PXP,P] = PXP^2-P^2XP$

$[XP^2-P^2X]P$

$[x\frac{d^2}{dx^2}\psi-{\frac{d^2}{dx^2}(x\psi)}]P$

$[x\frac{d^2}{dx^2}\psi -[\frac{d}{dx}(\psi + \psi'x)]]P$

$[(-ih)^2[x\frac{d^2}{dx^2}\psi -[ (2\psi' + \psi''x )]]]P$

$[(-ih)^2 (-2\psi')]P$

$[(-ih)(-ih)(-2\psi')]P$

$[2ih(-ih)(\psi')]P$

Debes saber

$(-ih)(\psi')= P$

entonces $[XP^2-P^2X] = 2ihP$

Entonces $[XP^2-P^2X]P = 2ihP^2$

Conmutador cuántico

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