Demostrar [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

estoy tratando de mostrar que [ A , B norte ] = norte B norte − 1 [ A , B ] donde A y B son dos operadores hermitianos que conmutan con su conmutador. Sin embargo, tengo un pequeño problema y me gustaría saber cómo proceder.

Si A y B viajan, entonces [ A , B ] = A B A − 1 B − 1 = mi donde ees el elemento de identidad del grupo.

∴ A B = B A

norte = 1 ; [ A , B 1 ] = ( 1 ) B 0 [ A , B ] = mi
Esta afirmación es ciertamente cierta. sin embargo pasando a norte = 2 Encuentro...

[ A , B 2 ] = A B 2 A − 1 B − 2 = A B B A − 1 B − 1 B − 1 = B B A A − 1 B − 1 B − 1

Donde en el último paso he usado el hecho de que A y B conmutan para reorganizar los términos. Sin embargo, es fácil ver que este último término simplemente se reduce a la identidad también y para el n = 2caso tenemos:

[ A , B 2 ] = mi ≠ 2 B [ A , B ] = 2 B mi = 2 B

Claramente he asumido algo que no debería haber hecho. El hecho de que haya un factor multiplicativo de nimplica que debería estar sumando cosas, pero pensé que si lo mantenía lo más general posible, la respuesta debería surgir naturalmente. No quiero una respuesta por favor, solo orientación.

Estoy confundido. no es [ A , B ] = A B − B A ?

Respuestas (3)

Parece que la pregunta (v1) es causada por el hecho de que hay dos nociones diferentes del conmutador :

  1. Uno para la teoría de grupos :

    (1) [ A , B ]   :=   A B A − 1 B − 1
    (o algunas veces [ A , B ] := A − 1 B − 1 A B , dependiendo de la convención), que rara vez se usa en física.

  2. Uno para anillos/álgebras asociativas :

    (2) [ A , B ] := A B − B A ,
    que es la definición que se suele utilizar en física. (Esta última definición (2) se generaliza a un superconmutador en superálgebras ).

La identidad

(*) [ A , B norte ]   =   norte B norte − 1 [ A , B ]

se cumple en el último sentido (2), si [ [ A , B ] , B ] = 0 . (No es necesario exigir [ A , [ A , B ] ] = 0 .) Más generalmente, para una función suficientemente bien comportada F , tenemos

(**) [ A , F ( B ) ]   =   F ′ ( B ) [ A , B ] ,

si [ [ A , B ] , B ] = 0 .

El conmutador de grupo (1) no tiene dimensiones, lo que (entre otras cosas) hace que la identidad (*) no sea natural para la demanda de conmutadores de grupo.

Lo tengo, tienes que usar la identidad [A,BC] = [A,B]C + [B,A]C junto con lo que dijiste anteriormente. soy tan tonto ¡Gracias!
si [ A , B ] no viaja con B , entonces va antes o después B ?
ecuaciones ( ∗ ) & ( ∗ ∗ ) generalmente no se cumplen en ningún orden (o incluso en combinaciones lineales de los mismos) si [ A , B ] no viaja con B .
¿Cómo probar [A,f(B)] = f′(B)[A,B]?
Hola @Basheer Algohi. ¿Hay una clase de funciones? F donde se puede ver como probarlo?
@Qmechanic, Sí, polinomio p(A^)
Derecha, expansión de Taylor de F es la idea básica.

Aquí hay otra forma de probar esta relación, por inducción:

  1. Verifique que la afirmación sea válida para norte = 1

[ A , B 1 ] = 1 ⋅ B 1 − 1 [ A , B ] = [ A , B ]

  1. Demuestre que, si la fórmula se cumple para norte = k   ( I ) , entonces también vale para norte = k + 1 , usando la identidad [ X , Y Z ] = [ X , Y ] Z + Y [ X , Z ]   ( I I ) y el hecho de que B viaja con [ A , B ]   ( I I I )

[ A , B ( k + 1 ) ] = [ A , B k B ] = [ A , B k ] B + B k [ A , B ]   ( I I ) = k B k − 1 [ A , B ] B + B k [ A , B ]   ( I ) = k B k − 1 B [ A , B ] + B k [ A , B ]   ( I I I ) = k B k [ A , B ] + B k [ A , B ] = ( k + 1 ) B k [ A , B ] = ( k + 1 ) B ( k + 1 ) − 1 [ A , B ]

  1. Dado que se han realizado tanto la base como el paso inductivo, por inducción matemática, la afirmación se cumple para todos los números naturales norte . ◻

Tal vez podrías mostrar esta relación de otra manera:

[ A , B norte ] = [ A , B norte − 1 B ] = B norte − 1 [ A , B ] + [ A , B norte − 1 ] B = . . .

entonces tomas [ A , B norte − 1 ] B y repite el proceso:

[ A , B norte − 1 ] B = [ A , B norte − 2 B ] B = B norte − 2 [ A , B ] B + [ A , B norte − 2 ] B B

Entonces B viajar con [ A , B ]

[ A , B norte − 1 ] B = B norte − 1 [ A , B ] + [ A , B norte − 2 ] B 2

repetir para norte pasos

[ A , B norte ] = B norte − 1 [ A , B ] + B norte − 1 [ A , B ] + . . . + B norte − 1 [ A , B ] = norte B norte − 1 [ A , B ]

Demostrar [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]
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