Operador de posición en el generador de espacio de momento

Question

Operador de posición en el generador de espacio de momento

usuario310291

¿Cómo obtener el operador de posición en la representación de momento a partir de conocer el operador de momento en la representación de posición? derivó el operador de posición en el espacio de momento usando conmutadores.

Quiero ampliar la analogía de equivalencia entre posición y espacio de momento. En el espacio de posiciones, decimos que el impulso es el generador de traslaciones. Esto puede sugerir potencialmente la forma de los operadores de momento. ¿Existe un generador de algún tipo de transformación simétrica infinitesimal en el espacio de momento que, cuando se repite varias veces, te da la posición?

En otras palabras, considere la declaración "el impulso es el generador de traslación en el espacio de posición". Quiero saber si hay una declaración equivalente que diga " X es el generador de traslación en el espacio de momento", es decir, X es un generador de cambio de momento. Tentativamente digo que esto tiene algo que ver con la fuerza porque en la física newtoniana, la fuerza cambia el impulso. Pero también veo dos razones para pensar que este nuevo generador debería tener algo que ver con la posición:

1, el operador de posición en el espacio de momento es muy similar al operador de momento en el espacio de posición.

Se supone que el momento y la posición 2 están profundamente conectados porque el espacio k del número de onda es la transformada de posición de Fourier. Se supone que es igualmente informativo trabajar tanto en la posición como en el espacio de momento.

Respuestas (2)

Operador de posición en el generador de espacio de momento

j murray · Answer 1

Sí hay. Dejar $\psi$ sea una función de onda en el espacio de posición. Siempre podemos escribir

ψ (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int d pag {mi}^{i pag X / ℏ} \tilde{ψ} (pag)

$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int \mathrm dp \ e^{ipx/\hbar} \tilde \psi(p)$

dónde $\tilde \psi$ es la correspondiente función de onda espacio-momento. Una traducción espacio-momento $p\mapsto p+q$ Se ve como esto:

ψ (X) \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int d pag {mi}^{i pag X / ℏ} \tilde{ψ} (pag + q) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int d pag {mi}^{i (pag - q) X / ℏ} \tilde{ψ} (pag) = {mi}^{- i q X / ℏ} ψ (X)

$\psi(x) \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \mathrm dp \ e^{ipx/\hbar}\tilde \psi(p+q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int \mathrm dp \ e^{i(p-q)x/\hbar} \tilde \psi(p) = e^{-iqx/\hbar} \psi(x)$ que se implementa directamente mediante el operador de traducción de momento unitario

U_{q} := e^{- i q \hat{X} / ℏ}

$U_q :=e^{-iq\hat X/\hbar}$ ; el generador de tales traducciones es por definición

\frac{ℏ}{i} \underset{q \to 0}{límite} \frac{{tu}_{q} - I}{q} = - \hat{X}

$\frac{\hbar}{i} \lim_{q\rightarrow 0} \frac{U_q - \mathbb I}{q} = -\hat X$

es decir, el generador de traducciones espaciales es $\hat P$ , y el generador de traslaciones de cantidad de movimiento es $-\hat X$ , validando sus sospechas.

Tentativamente digo que esto tiene algo que ver con la fuerza porque en la física newtoniana, la fuerza cambia el impulso.

Este es un error fácil de cometer. Sin embargo, cuando decimos que "el impulso es el generador de traducciones espaciales", no estamos hablando de dinámica ; es decir, no estamos diciendo "si adelantas el tiempo, el impulso es lo que hace que cambie la posición".

Más bien, es una declaración profunda específicamente sobre la mecánica hamiltoniana. Como descripción general de la velocidad de la luz, en la mecánica hamiltoniana cualquier función diferenciable $F$ de las variables del espacio de fase da lugar a un campo vectorial $\mathbf X_F$ . Dicho campo vectorial tiene curvas integrales , que también podría llamar líneas de campo en electrostática. A partir de ahí, podemos definir un mapa $\Phi_F^\lambda$ (llamado el flujo generado por $F$ ) que toma un punto $(x,p)$ en el espacio de fase y lo empuja a lo largo de su línea de campo una distancia $\lambda$ . Así que para recapitular, suavizar las funciones $\rightarrow$ campos vectoriales $\rightarrow$ fluye

El flujo generado por la propia función hamiltoniana representa la evolución temporal. Sin embargo, el flujo generado por la función de cantidad de movimiento simplemente cambia las posiciones de todos los puntos en el espacio de fase, y es en este sentido que decimos que la cantidad de movimiento genera traslaciones espaciales. Precisamente en el mismo sentido, encontrará que la posición genera cambios de impulso.

Esta estructura algebraica entre cantidades observables (que ahora son operadores autoadjuntos en lugar de funciones uniformes de las variables del espacio de fase) se traslada a la mecánica cuántica; la asociación entre operadores unitarios como el operador de traslación y el operador de cambio de momento (que son análogos a los flujos) y los operadores de momento y posición (análogos a los generadores) viene dada por el teorema de Stone .

Para obtener más información sobre esta estructura en la mecánica hamiltoniana, es posible que le interesen mis respuestas relacionadas aquí y aquí .

La segunda sección es mucho para asimilar (pero parece importante y estoy agradecido), pero la primera parte es exactamente lo que esperaba, y es mucho más simple de lo que pensé que sería. ¡Muchas gracias! ¿Sus dos respuestas vinculadas (al final de este artículo) brindan una discusión completa del tema a la velocidad de la luz desde el párrafo que comienza "más bien, es una declaración profunda ..."? ¿O hay una sección de un libro de texto que pueda recomendar para la explicación lenta de este material?
@ user310291 Sí, ese es en gran parte el contenido de las dos respuestas a las que me vinculé. El segundo incluye algunas imágenes y un gif que puede resultarle útil. Desafortunadamente, no puedo proporcionar un recurso que cubra esta formulación de la mecánica hamiltoniana pero que no utilice mucho la geometría diferencial; la segunda respuesta vinculada intenta proporcionar una comprensión operativa que no es tan abstracta. Y, por supuesto, puede hacer más preguntas aclaratorias en este sitio.

ytlu · Answer 2

ytlu

“Ser igualmente informativo para trabajar tanto en espacio de posición como de momento”, esto solo se puede lograr en los sistemas de partícula libre y oscilación armónica simple. Aparte de estos dos sistemas, la forma potencial hace que sea muy difícil trabajar en el espacio de momento.

usuario310291

Creo que esto está mal. Hay muchos ejemplos de aplicaciones sólidas de los cálculos del espacio de momento: por ejemplo, los estudios de las zonas de Brillouin para varios sistemas de estado sólido y los gases de electrones libres se realizan en el espacio k.

ytlu

Esa es una interpretación incorrecta. El vector de onda k de Bloch denota la condición límite periódica para la función de onda del espacio r,

ψ (x + a) = e^{i k a} ψ (x)

$\psi(x+a) = e^{ika} \psi(x)$ . El cálculo cerca de un átomo está en el espacio r para el potencial de culombio apantallado.

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