La forma de Weinberg de derivar el álgebra de Lie relacionada con un grupo de Lie

Así es como entiendo la discusión de Weinberg:

En primer lugar: siguiendo con precisión las palabras de Weinberg, sólo dice que "Tal conjunto de relaciones de conmutación se conoce como álgebra de Lie". Motiva las relaciones de conmutación considerando una representación$U(T)$de un grupo de mentiras$T$, pero no aclara la relación entre estas nociones. La terminología comúnmente aceptada tiene que aprenderse de otra parte; Intentaré ampliarlo aquí.

Tenga en cuenta que los matemáticos distinguen entre "un álgebra de Lie" y "el álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie".

Cualquier álgebra de operadores que cumpla (2.2.22) es "un" álgebra de Lie.

Pero para cada grupo de Lie$T$, existe "el" álgebra de Lie "más general"$\mathfrak{t}$que cumple (2.2.22). Surge de las constantes de estructura$f^a_{bc}$que menciona Weinberg. Tenga en cuenta que las constantes de estructura no dependen de la representación en algún espacio de Hilbert, solo dependen del grupo de Lie$T$.

Para encontrar este álgebra de Lie "más general" asociada a un grupo de Lie, puede observar un espacio vectorial muy especial, a saber, el espacio tangente en el elemento de identidad$1\in T$. La representación conjunta del grupo en este espacio dará lugar a un corchete de mentira.$[·,·]$en ese espacio vectorial y convertirlo en dicho álgebra de Lie "más general".

En cuanto a sus preguntas particulares:

1. Weinberg solo menciona "un álgebra de Lie", aunque proviene de un grupo. Es "el" álgebra de la mentira del grupo.$U(T)$.
2. En general, cada álgebra de Lie es una imagen homomórfica de "la" álgebra de Lie asociada a$T$. Estas álgebras de Lie son diferentes entre sí; por ejemplo, los espacios vectoriales pueden tener diferentes dimensiones.

3. Weinberg invoca el teorema de Wigner por la siguiente razón: a priori, el grupo de simetría$T$actúa sobre los rayos . Recuerda que el vector$|ψ\rangle$representa el mismo estado físico que el vector$ξ|ψ\rangle$que surgen de la multiplicación con un número complejo arbitrario de magnitud$|ξ|=1$. Un rayo es el conjunto de todos los vectores que surgen de esta manera; todos representan el mismo estado físico.

   Ahora, la simetría asigna estados físicos a estados físicos, es decir, conjuntos de vectores a conjuntos de vectores. Pero cada operación de simetría puede permutar vectores dentro del conjunto, después de todo, son indistinguibles físicamente. No está nada claro que un mapeo$T_1$en los rayos se puede reformular como un mapeo$U(T_1)$que actúa sobre vectores individuales y es lineal . Tampoco está claro que$U(T_1T_2) = U(T_1)U(T_2)$, porque estas operaciones pueden mapear los rayos entre sí, pero pueden permutar los vectores dentro de un rayo de manera bastante diferente, lo que se manifestaría en una fase$U(T_1T_2)|ψ\rangle = ξ·U(T_1)U(T_2)|ψ\rangle$.

   Sin embargo, queremos que la simetría actúe en un espacio de Hilbert, porque esto nos permite usar la expresión familiar para el conmutador de dos operadores$[X,Y] = XY-YX$. Después de todo, se trata de la suma (resta) de dos operadores, algo que no está disponible para simetrías que simplemente actúan sobre rayos.

   Aparte de eso, los espacios de Hilbert son completamente innecesarios para definir álgebras de Lie o grupos de Lie.

   La cuestión de cómo encontrar todas las representaciones de un grupo de Lie o de un álgebra de Lie está más allá del alcance de esta respuesta. Conduce a temas como álgebras de Lie semisimples y su clasificación.

4. Los matemáticos obtienen el álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie considerando el espacio tangente en el elemento identidad, como se mencionó anteriormente. El grupo de Lie no necesita estar conectado para que esto esté bien definido. (Pero solo es útil para estudiar la parte del grupo que está conectada con la identidad).