Operador de Dirac en espacio-tiempo curvo en 2 dimensiones – ¿hermitiano?

Actualmente estoy tratando de aprender sobre la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo y me he encontrado con un comentario extraño en el conocido libro de texto de Nakahara "Geometría, topología y física" que me gustaría entender.

En la sección 7.10.2, Nakahara escribe el Dirac en espacio-tiempo bidimensional como

S [ ψ , ψ ¯ ] = ∫ METRO d 2 X − gramo ψ ¯ i γ a mi a µ [ ∂ µ + 1 2 i Γ   µ b   C Σ b C ] ψ

dónde

  • Γ   µ b   C son los coeficientes para la conexión de espín, ∇ µ mi C = Γ   µ C b   mi b
  • mi a = mi a µ ∂ µ son los vectores de vielbein
  • y Σ b C = 1 4 i [ γ b , γ C ] son las representaciones spinor de los generadores para el álgebra de Lorentz Lie s o ( 1 , 1 ) .

(He soltado la masa y tu ( 1 ) términos de campo de calibre que también están presentes en el libro).

Luego, escribe

Es interesante notar que el término de conexión de espín desaparece si oscuro ⁡ METRO = 2 .

y argumenta que el lagrangiano tiene que hacerse hermitiano primero, por lo que termina con

S [ ψ , ψ ¯ ] = ∫ METRO d 2 X − gramo ψ ¯ i mi a µ [ γ a ∂ ↔ µ + 1 2 i Γ   µ b   C { γ a , Σ b C } ] ψ

En dos dimensiones, solo hay un generador. Σ 01 = γ 0 γ 1 , y anticonmuta con ambas matrices gamma, { γ 0 , Σ 01 } = { γ 1 , Σ 01 } = 0 , por lo que el término de conexión de espín desaparece.

Sin embargo, no entiendo por qué el lagrangiano tiene que hacerse primero hermitiano, así que mis preguntas son:

  1. ¿Es hermitiano el operador de Dirac en el espacio-tiempo curvo?

  2. Si no, ¿por qué es una buena idea hacerlo ermitaño como Nakahara?

Para la primera pregunta, actualmente estoy tratando de calcular el adjunto, pero aún no obtuve los términos para cancelar.

Puede que me equivoque, pero creo que, conceptualmente, siempre necesitas una función de valor real como acción porque no puedes hablar de máximo y mínimo con números complejos, aunque puedes usar la expresión compleja, alimentar las ecuaciones EL y obtener la respuesta correcta.
@HydroGuy: Ooh, me gusta esa forma de decirlo. No es del todo obvio que ser real en todos los campos ψ es equivalente a que el operador sea hermitiano, pero si no recuerdo mal, eso es cierto en espacios complejos de Hilbert.

Respuestas (1)

1) Operador de Dirac Pseudo-Hermitian en plano y no pseudo-hermitian en espacio curvo si lo define como en su primera ecuación (sin simetrizar).

porque ( i γ a mi a m ∂ m ) † = γ 0 ( i γ a mi a m ∂ m ) γ 0 , mientras ( γ a [ γ b , γ C ] ) † = γ 0 ( [ γ b , γ C ] γ a ) γ 0

2) El lagrangiano siempre debe ser hermitiano para que la matriz S sea unitaria (QM).

En el espacio plano, el término cinético en el lagrangiano no es hermitiano, por lo que en principio deberíamos agregar el conjugado hermitiano L = ψ ¯ i γ ∂ ψ + h . C . , sin embargo, si no lo hacemos, está bien porque el lagrangiano seguirá siendo hermitiano hasta una derivada total. Esta declaración en realidad era redundante porque la hermiticidad significa ( ψ , A ψ ) = ( A † ψ , ψ ) = ( A ψ , ψ ) así que las derivadas totales no importan para la definición.

Esto ya no funciona para una conexión de espín distinto de cero, como se demostró anteriormente. Por lo tanto, debe agregar explícitamente el conjugado hermitiano.

Gracias, pero ¿podría explicar por qué el lagrangiano tiene que ser hermitiano? Por ejemplo, entiendo que el hamiltoniano tiene que ser hermitiano, por lo que la energía potencial del lagrangiano debe ser de la forma − ψ † H ψ con H un operador hermitiano. Sin embargo, ¿qué pasa con los derivados del tiempo? Además, dices "pseudo-ermitiano" debido al hecho de que ψ ¯ difiere del adjunto ψ † por la matriz γ 0 ?
Hay muchas maneras diferentes de demostrar la necesidad de un Lagrangiano hermitiano en QFT. Mencionaré uno: término cinético no hermitiano en lagrangiano ⇒ momento complejo ⇒ un polo imaginario no infinitesimal en el propagador libre ⇒ Tiempo de vida finito para partículas estables ⇒ Partículas que se desvanecen en la nada. Este ejemplo también es el resultado de la energía compleja del valor esperado del hamiltoniano para cualquier estado excitado. mi norte ∗ =< norte | H | norte > † ≠ mi norte
Tenga en cuenta que incluso para las partículas inestables, para empezar, esto da una mayor probabilidad de descomposición que la dada por la suma de canales legítimos... Probabilidad > 100% ⇒ no unitario
Para tu segunda pregunta, sí. la definición de pseudo-hermitiano es solo esa A † = γ 0 A γ 0 ... Tenga en cuenta que en relación con esta declaración está la representación de Dirac del grupo de Lorentz es pseudo-unitario. Finalmente, tenga en cuenta que si un operador A es pseudo hermitiano, entonces γ 0 A es hermético. Entonces, si define el operador dirac con un γ 0 en el frente, y simetriza en un fondo sin grasa, terminas con un operador hermitiano de pleno derecho.
γ 0 A es hermético si la firma de su métrica es η 00 = + 1 de lo contrario es i γ 0 A
Operador de Dirac en espacio-tiempo curvo en 2 dimensiones – ¿hermitiano?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v