invariancia de paridad de Einstein, Maxwell y Dirac Lagrangianos

La paridad es una simetría que imponemos al Lagrangiano de Dirac y Maxwell porque sabemos experimentalmente que el electromagnetismo conserva la paridad. Exigir la invariancia de la paridad le dirá cómo se transforman los espinores y los vectores de Dirac bajo tal simetría. Las propiedades de transformación correctas son:

$\bullet$Espinores:

$$\mathcal{P}\thinspace\psi(t,x)\mathcal{P}^\dagger\ =\ \gamma^0\ \psi\thinspace(t,-x)\ ,$$ $$\mathcal{P}\thinspace\bar{\psi}\thinspace(t,x)\mathcal{P}^\dagger\ =\ \psi^\dagger\thinspace(t,-x)\ ,$$

$\bullet$Vectores:

$$\mathcal{P}\thinspace V^\mu\thinspace(t,x)\mathcal{P}^\dagger\ =\ \eta_{\mu\nu}\thinspace V^\nu\thinspace(t,-x)\ =\ V_\mu(t,-x)$$

Aquí por vectores me refiero a cantidades tales como el potencial$A^\mu$, la derivada parcial$\partial^\mu$o el actual$\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$.

Puede comprobar que estas son las propiedades de transformación que desea. El Lagrangiano de Dirac es

$$\mathcal{L}_D=\bar{\psi}(i\gamma_\mu\partial^\mu-m)\psi.$$

Es invariante de paridad ya que tanto la masa como el término cinético son invariantes de paridad:

$$\mathcal{P}\bar{\psi}\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \mathcal{P}\bar{\psi}\mathcal{P}^\dagger\thinspace\mathcal{P}\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \psi^\dagger\gamma^0\psi\ =\ \bar{\psi}\psi.$$

$$\mathcal{P}\thinspace\bar{\psi}\gamma_\mu\partial^\mu\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \mathcal{P}\bar{\psi}\mathcal{P}^\dagger\thinspace\gamma_\mu\mathcal{P}\partial^\mu\mathcal{P}^\dagger\mathcal{P}\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \psi^\dagger\gamma_\mu\gamma^0\partial_\mu\psi\ =\ \bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi$$

donde en la última igualdad usamos la propiedad$\gamma^0\gamma^\mu=\gamma_\mu\gamma^0$.

El Maxwell Lagrangiano es

$$\mathcal{L}_M\ = \ -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

donde el tensor de Maxwell se define como$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$. De esta definición es claro que cada índice en$F^{\mu\nu}$se transforma como un vector, entonces

$$\mathcal{P} F^{\mu\nu}\mathcal{P}^\dagger=F_{\mu\nu}.$$

En consecuencia, el lagrangiano de Maxwell es paridad invariable.

Por Einstein Lagrangiano, ¿te refieres a la acción de Einstein-Hilbert? o las ecuaciones de Einstein?