¿Ecuación de Dirac de un operador de vierbein?

Respuesta corta.  Un vierbein es una elección de un marco de inercia preferido en un punto de espacio-tiempo particular. Es decir, es una colección de cuatro cuatro -vectores. Insisto en las dos cuatros de la frase anterior. En notación de índice completamente expandida, lo escribiría como$e^\mu_\alpha$: dieciséis componentes! Entonces, en la superficie, tu fórmula no tiene sentido porque tiene vectores a la izquierda y escalares a la derecha.

Elaboración 1. ¿Qué es realmente un vierbein?  En un espacio-tiempo de Minkowski, existe una forma integrada de identificar los vecindarios de dos puntos cualesquiera (piénselo literalmente: un punto y sus vecinos). Es consistente en el sentido de que va de$A$a$B$y luego de$B$a$C$es lo mismo que ir directamente desde$A$a$C$. En la mayoría de las demás situaciones, no existe tal receta natural , y la relatividad general explota este hecho de manera útil.

Sin embargo, ¿ cómo describe tal receta, natural o no? Una cosmovisión útil (matemática) le dice que mantenga las cosas locales si puede, por lo que considera vectores tangentes, intuitivamente, desplazamientos "infinitamente pequeños", en lugar de vecindades finitas. Denote el (espacio vectorial de) vectores tangentes en el punto$x \in M$por$T_xM$; entonces nuestro problema es describir una identificación consistente$T_xM \leftrightarrow T_yM$para$x\not= y$.

Elija una base de vectores tangentes en cualquier punto del espacio-tiempo,$\mathbf e_\alpha(x) \in T_xM, \alpha = 0,\ldots,3$, y tienes un algoritmo para mover vectores: dado un vector$\mathbf v \in T_xM$en un punto$x$, expandirlo en la base local como$\mathbf v = v^\alpha\mathbf e_\alpha(x)$y luego use estas coordenadas para construir un vector tangente en cualquier otro punto:$v^\alpha\mathbf e_\alpha(y) \in T_yM$. Convénzase usted mismo de que esta prescripción es consistente y que cualquier prescripción razonable puede describirse de esta manera eligiendo una base en un solo punto y moviéndola a cualquier otro punto. (¿Qué es razonable ?) Para hacer física, es útil limitarnos a marcos ortonormales (también conocidos como inerciales locales) con$\mathbf e_\alpha\cdot\mathbf e_\beta = \eta_{\alpha\beta}$.

Elaboración 2. ¿Dónde están los dieciséis componentes?  Elija ahora un sistema de coordenadas en el espacio-tiempo, es decir, una asignación a cada ¹ punto$x$de un conjunto de cuatro números$x^\mu, \mu = 0,\ldots,3$. Hay entonces un conjunto distinguido de vectores tangentes en cada punto del espacio-tiempo, los desplazamientos infinitesimales a lo largo de una coordenada particular convencionalmente indicados por$\partial_\mu\equiv\partial_\mu(x)$. Estos vectores forman una base, pero no son necesariamente ortonormales: de hecho,$\partial_r(r,\phi)$tiene longitud uno en coordenadas polares, pero$\partial_\phi(r,\phi)$tiene longitud$r$. Cualquier otro vierbein que pudiéramos haber tenido ahora se puede expandir en estos:

$$\mathbf e_\alpha(x) = e^\mu_\alpha(x)\partial_\mu(x).$$ Aquí tienes, dieciséis escalares $(e^\mu_\alpha)$. Su dependencia de $x$refleja el hecho de que las dos recetas que tenemos ahora pueden ser diferentes . y los indices $\alpha$y $\mu$también son de naturaleza completamente diferente: etiquetan diferentes conjuntos de vectores base, por lo que (por ejemplo) contraerlos es tan geométricamente significativo como $v^x\partial_r$. Sin embargo, puede empaquetar las dieciséis funciones $e^\mu_\alpha$en cuatro juegos de cuatro tanto como $(e_\alpha)^\mu$, como hemos hecho originalmente, y como $(e^\mu)_\alpha$, como en su fórmula (¿cómo puede ser útil esto?).

Elaboración 3. ¿Qué es una fórmula que sí funciona?  Para el intento de Dirac (en última instancia, equivocado) de la mecánica cuántica relativista, no solo desea una ecuación de primer orden en lugar de la relación energía-momento: también necesita la relación (de segundo orden) que se deriva de ella . Una buena manera de garantizar que algo de segundo orden y lineal se desprenda de algo de primer orden y lineal es exigir que este último al cuadrado sea igual al primero ² . Probemos cualquier operador de primer orden no homogéneo, llamando a sus coeficientes$\gamma^\mu$y$\delta$:

$$\left(p_\mu\cdot\gamma^\mu \pm m\cdot\delta\right)\psi = 0.$$

Lo que está entre paréntesis es un operador , por lo que elevarlo al cuadrado significa aplicarlo dos veces. No puede multiplicar un escalar por un vector dos veces , por lo que su método original no puede funcionar. Sin embargo, puede pretender que estos símbolos se multiplican de alguna ^forma razonable y averiguar cuál debe ser esa forma para que$(\cdots)^2 = (p^2 - m^2)\cdot 1$. Necesitamos (aunque rara vez escribimos explícitamente) el explícito$1$en la última fórmula porque necesitamos incrustar el operador escalar de Klein-Gordon en el espacio en el que viven esos extraños símbolos.$\delta = 1$utilizando la definición anterior de$1$) y obtendrás el resultado correcto . Tenga cuidado de evitar cualquier prejuicio sobre la$\gamma$s.

^{1 Pretendo que solo necesitamos un gráfico en aras de la simplicidad: cada argumento aquí es local, por lo que es de poca utilidad preocuparnos por cuestiones globales.
2 no sé si es el único (módulo de factores constantes); ediciones bienvenidas.
3 Asociativo, distributivo y conmutativo con números y operadores diferenciales.}