Operador de aniquilación en oscilador armónico

1. El operador de aniquilación es un operador lineal. Un operador lineal se puede aplicar a CUALQUIER estado. Y sí, devuelve cero cuando se aplica al estado fundamental.

2. Realmente puedes tomar esto como una definición. La definición del operador de cantidad de movimiento$\hat{p}$es el operador tal que$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle=-i\hbar \psi'(x)$. Uno podría escribir esto como$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle=-i\hbar \frac{d}{dx}\langle x| \psi\rangle$. "x" no es una constante aquí, por lo que no está aplicando un operador a una constante.

3. A los físicos les encanta abusar de la notación. Si lo formaliza, no puede aplicar operadores (como$\hat{p}$y$\hat{x}$y$\hat{a}$y$\hat{a}^\dagger$) a constantes, solo puede aplicarlas a elementos en su espacio de Hilbert.

4. El salto de la segunda línea a la tercera línea se realiza escribiendo la ecuación diferencial$\psi_0'(x)=x \alpha \psi_0(x)$y resolverlo, por el método que quieras. (Prefiero "por observación" :)

La frase "el estado fundamental en la representación de la posición está determinada por..." es un poco extraña, estoy de acuerdo. Lo que realmente quiere decir es que la ecuación$a|0\rangle=0$, cuando se escribe en base a la posición, da lugar a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se puede resolver con bastante facilidad.

En cuanto al punto 2:

Los operadores no siempre se comunican entre sí de manera limpia, pero hay algunas reglas muy básicas que siempre se aplican, que se pueden convertir en reglas menos tediosas que se aplican en casos especiales. A menudo, estos últimos se enseñan primero, lo que provoca una gran confusión.

Regla general: Los operadores se pueden expresar como

(Suma sobre a en el conjunto de vectores propios) |a > valor propio(a) < a|

Si hay un número infinito de vectores propios, entonces el valor propio debe tener una cantidad diferencial como 'dx'. Ejemplo:

operador x = integral sobre x: |x > x dx < x|

Si está trabajando en alguna otra base, puede expresarlo como (Suma sobre los vectores a, b) |a > elemento-matriz[a, b] < b|

Además, siempre ponga todas estas integrales al frente . Entonces,

< X | p |Ψ> = (Integral sobre p ) < x|p > p dp < p | Ψ>

Puede reordenar < x|p >, p , dp y < p|Ψ > como desee, ya que los dos corchetes son solo escalares, y p no es un operador, solo un punto en el espacio de momento, y dp es una cantidad diferencial de espacio de cantidad de movimiento. Si tiene más de una cantidad vectorial, entonces está restringido para mover esos vectores de la misma manera que lo haría en el álgebra lineal regular (si reordena un producto cruzado, necesita negarlo, por ejemplo). Simplemente, las cosas de la forma <etiqueta 1|etiqueta 2> son escalares.

Volviendo a este caso particular, < x|p > = (una const dependiendo de la dimensionalidad) e^{i*(p/ℏ)*(dot)x}. Intenta tomar el gradiente de < x | Ψ > y compara, y verás que te sale así que lo que dijiste al principio es correcto.

La misma técnica general se puede utilizar para encontrar la forma de intercambiar otros operadores. En general, hay razones profundas por las que deberían tener estas relaciones particulares. Por ejemplo, el momento en la dimensión 1 es ortogonal a la posición en la dimensión 2, por lo que no hay interacciones entre estos términos, por lo que esos operadores pueden fluir entre sí libremente. Pero hay relaciones entre p y x en la misma dimensión, por lo que tienen que cambiar algo en el camino pasado.

En cuanto al punto 3:

Si a y c son estados y B es un operador escalar, entonces

< un| B |c > es un escalar (ver arriba)

B < a|c > es un operador. Este operador es igual a B por el escalar, < a|c >. Esta expresión no implica aplicar el operador a nada. Simplemente se escala.