Conjugación de carga en la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac para una partícula con carga$e$es

$$\left[\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) - m \right] \psi = 0$$ Queremos saber si podemos construir un espinor. $\psi^c$con carga opuesta a $\psi$. Esto obedecería a la ecuación $$\left[\gamma^\mu (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^c = 0$$ Si conoces las transformaciones de calibre $$\psi \rightarrow \exp\left( i e \phi\right) \psi$$ (junto con la transformación de compensación para $A_\mu$, que no necesitamos aquí), esto sugiere que la conjugación compleja es lo que hay que hacer: $$\psi^\star \rightarrow \exp\left( i (-e) \phi\right) \psi^\star$$ Entonces parece $\psi^\star$tiene la carga opuesta. Tomemos el complejo conjugado de la ecuación de Dirac: $$\left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^\star = 0$$ Desafortunadamente esto no es lo que queremos. Pero recuerda que los espinores y $\gamma$las matrices solo se definen hasta un cambio de base $\psi \rightarrow S \psi$y $\gamma^\mu \rightarrow S \gamma^\mu S^{-1}$. Posiblemente podamos encontrar un cambio de base que lleve la ecuación de Dirac a la forma que queremos. Introducir una matriz invertible $C$multiplicando por la izquierda e insertando $1 = C^{-1}C$(tenga en cuenta que $C$es la notación más común para su $\tilde{U}$): $$\begin{array}{lcl} 0 &= & C \left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C^{-1} C\psi^\star \\ &= & \left[-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C\psi^\star \end{array}$$

Tenga en cuenta que si podemos encontrar un$C$que obedece$-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$después$C\psi^\star$es un candidato perfectamente bueno para$\psi^c$! Resulta que de hecho se puede construir$C$satisfaciendo la condición y definiendo la conjugación de carga como

$$\psi \rightarrow \psi^c = C\psi^\star$$

Puede ver esto más explícitamente en términos de espinores de dos componentes en la base de Weyl:

$$\psi = \left( \begin{matrix} \chi_\alpha \\ \eta^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right)$$ (la notación sigue el tomo sobre el tema ). La carga conjugada espinor en esta representación es $$\psi^c = \left( \begin{matrix} \eta_\alpha \\ \chi^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right)$$ Entonces la conjugación de carga es $$\eta \leftrightarrow \chi$$ Esta representación resalta explícitamente los dos componentes con carga opuesta del espinor de Dirac, $\eta$y $\chi$, y muestra que la conjugación de carga actúa intercambiándolas.

Para recapitular: queremos definir una operación de conjugación de carga de modo que dada una$\psi$con algo de carga electrica$e$, podemos obtener un$\psi^c$con cargo$-e$. La conjugación compleja de la ecuación de Dirac nos lleva allí, pero el espinor resultante$\psi^\star$está en una base de espinor diferente, por lo que la ecuación de Dirac no está en forma estándar. Introducimos un cambio de base$C$para recuperar la ecuación de Dirac en su forma estándar. Las condiciones necesarias para que esto funcione son que$C$es invertible (si no, no sería un cambio de base y pasarían cosas malas) y$-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$.

La clave aquí es que las matrices gamma están dadas por sus relaciones de conmutación y éstas no determinan una representación única para las matrices.

Si parte de la ecuación de Dirac

$$\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi = m \Psi$$

y hacer la siguiente transformación genérica$\Psi = U \Psi'$con$U$una matriz constante con inversa$UU^{-1}=1$la ecuación se convierte

$$\gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m U \Psi'$$

multiplicando por la matriz inversa

$$U^{-1} \gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m \Psi'$$

esto es equivalente a la ecuación original si$\gamma^\mu{'} = U^{-1} \gamma^\mu U$. Esta relación garantiza que las nuevas matrices satisfagan las mismas relaciones de conmutación que la original.

Con respecto al caso específico de la conjugación de carga, creo que el enfoque más fundamental utiliza el teorema CPT. En este caso la paridad es trivial por lo que queda la conjugación de carga (C) y la inversión de tiempo (T). La ecuación de Dirac es invariante si se invierten tanto el signo de la carga como el tiempo. Esta es la base de la interpretación de Stuckelberg Feynman de las antipartículas como partículas que viajan hacia atrás en el tiempo.