Distancia recorrida por un chorro de agua

El primer enfoque es incorrecto porque identifica el tiempo que un volumen de agua es acelerado por la fuerza total de la gravedad con el tiempo que tardaría en caer esa distancia. Si ese fuera el caso, vería menos aceleración porque el efecto ram disminuiría la presión que ve desde arriba a cero.

El segundo enfoque te da la ecuación correcta para la velocidad, aunque encuentro curiosa tu noción.$P_h = P_\mathrm{top} + \rho g (H-h)$es la presión en el orificio (o más bien la diferencia con la presión del aire ambiente) y la velocidad a la que el agua tiene que viajar o se acelera desde cero puede calcularse a partir de la ecuación de Bernoulli porque la presión dinámica$\Delta P = \frac{1}{2} \rho v^2$también describe correctamente el efecto ram, la diferencia de presión en la dirección de avance/retroceso (y eso no es una coincidencia, por lo que identificar esto con la ley de Bernoulli para el cambio opuesto en la presión perpendicular al flujo está bien, al menos en mi opinión). Ambos enfoques parecen asumir que el chorro se expulsa horizontalmente (lo que probablemente sea cierto, pero creo que debería indicarse en caso de que alguien que hace un agujero inclinado lo malinterprete). No he comprobado tu maximización, solo que las ecuaciones que usas parecen correctas suponiendo que$S$es su velocidad (otros pueden preferir o esperar que se escriba como$v=|\vec{v}|$o$\dot{x}$).

La observación experimental es que la gráfica de la distancia recorrida hasta la altura del agujero "parece" parabólica

No es "parabólico", es la raíz cuadrada de una parábola (como se muestra a continuación):

$$d=2\sqrt{Hh-h^2}\;.$$ Esto es solo semántica, pero es bueno hacerlo bien; una parábola solo tiene potencias 0, 1 y 2, por ejemplo, $ax^2+bx+c$, no raíces cuadradas...

Aquí hay dos respuestas usando notación:$H$=superficie superior del agua,$h$= altura del chorro,$d$= distancia recorrida por el jet

1. $Pressure = \rho g (H-h)$, Fuerza sobre una gota de área$A$y volumen$V$es$F=\rho g (H-h) A$. Suponiendo que esta fuerza actúa durante una unidad de tiempo t, la velocidad en la salida del orificio es$S=g (H-h) At/V$. Dado que el tiempo para enamorarse de la gota es$\sqrt {2h/g}$. La distancia recorrida por una gota es$d=g (H-h) At/V \sqrt {2h/g}$, el máximo se produce en$h = H/3$
2. Usando la ecuación de Bernoulli,$P+\frac{1}{2}\rho S^2+\rho gh$, entonces suponiendo que la velocidad en la superficie superior es despreciable,$\frac{1}{2}\rho S^2=\rho g(H-h)$, entonces$S=\sqrt {2g(H-h)}$. Dado que el tiempo para enamorarse de una gota es$\sqrt {2h/g}$. La distancia recorrida por una gota es$d=\sqrt{2g(H-h)} \sqrt {2h/g}$, el máximo se produce en$h = H/2$.

En mi opinión, la primera es correcta, ya que ignorar la velocidad de la superficie superior del agua es incorrecto. ¿Me pueden ayudar a entender cuál es el enfoque correcto?

Ignorar la velocidad en la superficie superior del agua es correcto si el tamaño de los agujeros perforados es mucho más pequeño que el área de la sección transversal del agua en la parte superior. Además, como se muestra a continuación, ignorar la velocidad de la superficie superior del agua no afecta el cálculo de la mejor altura$h=H/2$. (Aparte, también está ignorando un montón de otras cosas que no parecen molestarle. Por ejemplo, también está ignorando la diferencia en la presión atmosférica a la altura de la superficie superior H y la presión atmosférica afuera en el agujero en h...)

¿En qué parte de su primera "respuesta" no ignoró la velocidad en la parte superior? Si no hubiera ignorado la velocidad del agua en la parte superior, habría algún lugar en su derivación donde la relación entre el área de la superficie superior y el área del agujero entrara en la ecuación... lo cual no es así. Todavía ignoró la velocidad máxima, simplemente hizo un trabajo fallido al volver a derivar la ecuación de Bernoulli, por lo que obtiene la respuesta incorrecta.

La ecuación de Bernoulli dice:

$$\rho g z_1 + \frac{1}{2}\rho g v_1^2 + P_1 = \rho g z_2 + \frac{1}{2}\rho g v_2^2 + P_2\;,$$ e ignorar la velocidad de la superficie superior equivale a establecer: $z_1=H$, $v_1=0$, $P_1=P_{atm}$, $z_2=h$, $v_2=S$, $P_2=P_{atm}$, de este modo $$\rho h H=\rho g h + \frac{1}{2}\rho S^2$$

No ignorar la velocidad en la superficie superior equivale a establecer:$z_1=H$,$v_1=S_{top}$,$P_1=P_{atm}$,$z_2=h$,$v_2=S$,$P_2=P_{atm}$, de este modo

$$\rho h H+\frac{1}{2}\rho S_{top}^2=\rho g h + \frac{1}{2}\rho S^2\;,$$ y para un fluido incompresible $$S_{top}=S\frac{a_{hole}}{a_{top}}\;.$$ Entonces, si quisiera, podría tener en cuenta la velocidad en la parte superior reemplazando $$S^2 \to S^2(1-\frac{a_{hold}^2}{a_{top}^2})\;,$$ pero tendrías que saber el área del agujero y el área de la superficie superior.

Además, la corrección anterior claramente no cambia la forma de la$h$dependencia, por lo que el máximo todavía aparece en$h=H/2$. Es decir, el rango es ahora

$$d=2\sqrt{\frac{\rho(Hh-h^2)}{1-\frac{a_{hole}^2}{a_{top}^2}}}\;,$$ que todavía está maximizado por $h=H/2$

De hecho, probé esto, para una clase de física introductoria, perforando agujeros en un recipiente de plástico de un galón en el que el área de la parte superior del recipiente, A, era de aproximadamente 23 000 mm^2 y el área del orificio pequeño, A' , era de aproximadamente 1 mm^2 la ecuación de continuidad, es decir, Av=A'v' dice que la velocidad del agua en la superficie superior, v , es casi insignificante en comparación con la velocidad que sale del pequeño orificio, v' .

La ecuación de Bernoulli parecía ser la primera opción (sin embargo, como mostró mi experimento y comentaré más adelante, posiblemente Navier Stokes podría haber sido una mejor opción) La ecuación de Bernoulli, con las cantidades no preparadas en la superficie del agua superior y las cantidades preparadas en el pequeño orificio de salida, es.

                          **P+(1/2)ρv^2+ρgh=P'+(1/2)ρv'^2+ρgh'**

Si no hay vorticidad, el agua se arremolina alrededor del efecto de drenaje, y dado que hay poca diferencia en la presión atmosférica P=P' y v=0 y si la altura se mide desde h', entonces la velocidad de salida del pozo debe ser √ 2gh.

esta velocidad se puede verificar si el orificio de salida está a una altura H del piso y la corriente llega a una distancia horizontal, x , desde el orificio, la proyección viene dada por la ecuación

                                      **v'=x√g/√2H**

Cuando realicé este experimento, la velocidad horizontal medida directamente era solo la mitad de la velocidad calculada por Bernoulli. Me di cuenta de que el agua parecía estar arremolinándose, es decir, vorticidad, lo que sugiere que un tratamiento de Navier Stokes podría explicar esto. Descubrí que no existe una solución general para la ecuación de Navier Stokes y que había un premio de un millón de dólares por resolverla. No lo resolví y decidí hacer otra cosa.