Onda de partículas libres normalizable en 1D

Question

Onda de partículas libres normalizable en 1D

GPA alto

Estoy tratando de resolver una ecuación de Schrödinger no relativista de partículas 1D libre con función de onda inicial $\psi(x,0)=\delta(x)$ , dónde

d (X) = \underset{a \to 0}{límite} (a / 2) | X |^{(a - 1)} .

$\delta(x)=\lim_{a\to0}(a/2)|x|^{(a-1)}.$

Aquí está mi enfoque:

Colocar

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = mi Ψ (X, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ (X, t) .

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (x,t) =E\Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (x,t).$

Las soluciones generales se ven como:

Ψ = A {mi}^{a} {mi}^{b}

$\Psi=Ae^ae^b$

Porque el signo del número real $E$ podría definirse arbitrariamente, elijo $E<0$ para que la solución sea normalizable.

Ψ (X, t) = A {mi}^{- k X + i ω t}

$\Psi(x,t) = A e^{-kx+i\omega t}$

Ψ^{*} Ψ \equiv d (X)

$\Psi^*\Psi\equiv\delta(x)$

¿Tengo razón?

¿Cómo obtengo la solución sensata que representa la evolución de la función de densidad de una partícula libre en $\mathbb R$ ? (como el video gif en https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle )

Un segundo enfoque es considerar $E>0$ y establecer condiciones de contorno como una partícula en un cuadro 1-D "muy grande". ¿Podrías ayudarme con eso?

De la respuesta principal de Jan, aprendí tres formas de lidiar con funciones de onda no normalizables.

Normalización de la solución a la ecuación de Schrödinger de partículas libres

Uno de ellos fue "usar solo funciones normalizables para calcular la probabilidad"

El proceso de solución se aprendió de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/Scheq.html#c2

Lo siento si la pregunta ya está hecha.

probablemente_alguien

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/129978

Respuestas (1)

Onda de partículas libres normalizable en 1D

ZeroTheHero · Answer 1

... me parece que hay varios problemas aquí.

$\psi(x)=\delta(x)$ no es una función propia del hamiltoniano, por lo que no es útil buscar una solución para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. La solución con su condición inicial será una superposición de ondas planas, ya que las ondas planas son funciones propias del problema de las partículas libres.
Si $\Psi(x,t)=Ae^{-i(\omega t-kx)}$ , el $\Psi(x,t)^*\Psi(x,t)=\vert A\vert^2$ , no $\delta(x)$ . Además, tu $\Psi(x,t)$ es una onda plana y, por lo tanto, ciertamente no está concentrada en un punto para cualquier valor de $x$ .
A continuación, si está resolviendo una partícula libre, entonces $E$ debe ser no negativa ya que la energía cinética no es negativa.

Dado que las soluciones de partículas libres son de la forma $e^{ikx}$ en $t=0$ , por qué no intentar

ψ (X) = \int_{- \infty}^{\infty} d k ϕ (k) {mi}^{i k X}

$\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k) e^{ikx}$ es decir, encontrar

ψ (x)

$\psi(x)$ como un paquete de ondas y busca una función

ϕ (k)

$\phi(k)$ tal que

ψ (x) = δ (x)

$\psi(x)=\delta(x)$ ? Es posible que desee recordar que

\begin{aligned} d (X - X_{0}) = ⟨ X | X_{0} ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} d k ⟨ X | k ⟩ ⟨ k | X_{0} ⟩, \\ = \int_{- \infty}^{\infty} d k \frac{1}{2 π} {mi}^{i k (X - X_{0})} . \end{aligned}

$\begin{align} \delta(x-x_0)=\langle x\vert x_0\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} dk \langle x\vert k\rangle\langle k\vert x_0\rangle\, ,\\ &=\int_{-\infty}^\infty dk \frac{1}{2\pi}e^{ik(x-x_0)}\, . \end{align}$

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probablemente_alguien

Respuestas (1)

ZeroTheHero

¿Por qué ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} es una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en RR\Bbb R?

La solución explícita de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una partícula libre que comienza como una función delta

¿Por qué la función de onda no es igual a 0 en el pico del potencial delta de Dirac, pero es 0 para los límites del pozo cuadrado infinito?

Partícula de pozo infinito sujeta a dependencia de tiempo adicional. potencial

corriente de probabilidad

Estado propio de la función delta para potencial distinto de cero

¿Por qué se define de esta manera el coeficiente de reflexión en la dispersión mecánica cuántica?

Probabilidad de encontrar una partícula en el lado izquierdo en el tiempo ttt

Forma de la ecuación de Schrödinger para la densidad de probabilidad

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