Ocupación de estados cuánticos a temperatura ambiente

Pensemos en el problema de esta manera... es un poco tosco pero debería darte una idea:

Sabemos que los niveles de energía de una partícula en una caja 1D de longitud$L$están dadas por la fórmula

$$E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} n^2$$

dónde$n=1,2,3,\dots$. También sabemos que la energía cinética promedio de una partícula$\langle E\rangle$está relacionada con la temperatura por la relación

$$\langle E \rangle = \frac 3 2 k_B T$$

Supongamos que la energía cinética máxima de una partícula a temperatura$T$es algo del orden de$2 \langle E \rangle =3 k_B T$(el número real no es importante ya que buscamos una estimación aproximada).

Entonces la pregunta es: ¿cuántos niveles de energía son posibles si la energía máxima es$3 k_B T$?

Para responder a esta pregunta, tenemos que tomar la siguiente ecuación

$$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} n^2 = 3 k_B T$$

y resolver para$n$:

$$n = \sqrt{\frac{6 k_B T m L^2}{\pi^2 \hbar^2}}$$

Pongamos algunos números en esa fórmula:

• $T=300$k ($\simeq$temperatura ambiente)
• $L=1$cm
• $m = 10^{-27}$kg ($\simeq$masa de hidrógeno)

Obtenemos

$$n \simeq 10^8$$

Nuestra partícula, por supuesto, ocupará sólo uno de esos$10^8$posibles niveles de energía. lo sé, no es$10^7$, ¡pero estuvimos bastante cerca!

si tenemos$N$partículas independientes (como en un gas ideal), el hamiltoniano total será separable y sus valores propios serán la suma de los valores propios de los hamiltonianos de una sola partícula, por lo que el argumento anterior no va a cambiar mucho. Incluso si consideramos una caja 3D, no cambiará mucho, ya que los niveles de energía serán

$$E_{n_x n_y n_z} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} (n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

y el argumento aproximado que di arriba seguirá siendo más o menos el mismo. En realidad, puedo ser más explícito: los valores propios para$N$partículas que no interactúan en una caja 3D son

$$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}\sum_{i=1}^N (n_{x,i}^2+n_{y,i}^2+n_{z,i}^2)$$

Te dejo a ti demostrar que obtendremos más o menos el mismo resultado para el número de niveles de energía.

La distribución de Fermi-Dirac para que una partícula esté en la$n_i$estado con energia$E_i$y$\mu$el potencial químico igual a la energía de Fermi como$T~\rightarrow~0$es

$$\bar n_i = \frac{1}{e^{(E_i-\mu)\beta} + 1}$$ por la temperatura $T~>>~0$entonces $\beta~=~1/kT$es pequeño y para $E_i$no grande tenemos $(E_i-\mu)\beta << 0$. Esto significa que $e^{(E_i-\mu)\beta}~\rightarrow~1$. Ahora escribe esto como $$\bar n_i = \frac{e^{-(E_i-\mu)\beta}}{(1 + e^{-(E_i-\mu)\beta}}).$$ El término $e^x = 1 + x + x^2/2 + \dots$para $x = {-(E_i-\mu)\beta}$, que linealmente de modo que $$\bar n_i \simeq e^{-(E_i-\mu)\beta}\left(1 - (E_i-\mu)\beta\right),$$ donde se ha utilizado el teorema del binomio. Esto conduce a la distribución aproximada de Boltzmann.

Para una densidad de estados, número de estados por unidad de rango de energía por unidad de volumen$g(E)$, el número de ocupación se calcula como

$$N(E) = \frac{g(E)}{e^{(E_i-\mu)\beta} + 1}$$