Interpretación alternativa de la fórmula del número de fermiones degenerados en el espacio de fase

Estoy escribiendo notas personales sobre mecánica estadística y tengo la tentación de escribir algo que puede resultar falso. Así que necesito una confirmación/infirmación y opiniones sobre lo siguiente (sospecho que es falso, pero...).

El número de fermiones degenerados dentro de un volumen.$V$, a temperatura$T = 0$, se encuentra por integración en su espacio de fase debido al principio de exclusión de Pauli (solo un fermión por estado):

$$\begin{equation}\tag{1} N = \int_0^{p_F} \frac{2 \cdot 4 \pi p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} \, V = \frac{p_F^3 \, V}{3 \pi^2 \, \hbar^3}. \end{equation}$$ Esto permite encontrar el impulso de Fermi $p_F$en función de la densidad de las partículas $N/V$. En principio, esta integración solo tiene sentido para un gran número de partículas: $N \gg 1$.

Ahora, me siento tentado a interpretar (1) como todavía válido incluso para$N = 1$(solo un fermión en la caja), ya que la mecánica cuántica permite superposiciones de estados para una sola partícula. Hacer una integral sobre el espacio de fase para encontrar solo una partícula en la caja es extraño y no debería ser válido (según el principio de Pauli, esta suma tiene sentido solo si$N \gg 1)$. Pero en QM, una sola partícula podría estar en una superposición de estados de diferentes momentos, hasta el valor máximo permitido (es decir, el momento de Fermi).

¿Es viable esta interpretación? ¿O es completamente absurdo?

Por lo que vale, mi intuición me dice que esta interpretación poco convencional puede ser cierta después de todo, ya que existen algunas interpretaciones "alternativas" de algunos cálculos en mecánica estadística. Pero lo que me preocupa es la aparente ausencia del principio de exclusión de Pauli en esta interpretación.

Al aplicar el principio de exclusión de Pauli, decimos "solo una partícula por estado dado", pero en QM podemos decir "varios estados por partícula". Entonces, esto parece sugerir que (1) aún puede ser válido de alguna manera, incluso para$N = 1$.

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EDITAR: Aquí hay una justificación tentativa de que la interpretación puede ser cierta de alguna manera .

Tienes una sola partícula en una caja rectangular de tamaños$\ell$, a temperatura$T = 0$. De la mecánica clásica, su cantidad de movimiento promedio debería ser 0. Pero debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, la cantidad de movimiento en el$x$dirección tiene una incertidumbre mínima dada por

$$\begin{equation}\tag{2} \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} \approx \frac{\hbar}{\ell}, \end{equation}$$ desde $\Delta x \approx \frac{\ell}{2}$(de media). Entonces, el impulso puede ser cualquier cosa en este rango: $$\begin{equation}\tag{3} -\, \Delta p_{x \, \text{max}} \le p_x \le \Delta p_{x \, \text{max}}. \end{equation}$$ Así, clásicamente, la partícula ocupa una pequeña región difusa en su espacio de fase. El volumen de esa región está dado por (1), con $p_F$reemplazado por $\sim \Delta p_x$. El principio de Pauli puede cumplirse si todas las demás partículas se colocan solas dentro de cajas adyacentes, de modo que solo haya una partícula por estado cuántico (es decir, una región difusa en el espacio de fase).

El argumento anterior se puede generalizar para cualquier número de partículas en la misma caja de volumen$V$:$N > 1$, desdoblando la integral (1) en tantas partes como fermiones haya. Para$N = 3$por ejemplo (o cualquier otro entero):

$$\begin{equation}\tag{4} N = \int_0^{p_1} \dots dp + \int_{p_1}^{p_2} \dots dp + \int_{p_2}^{p_{\text{max}}} \dots dp, \end{equation}$$ dónde $0 < p_1 < p_2$son completamente arbitrarios y $p_{\text{max}}$es el valor máximo permitido (momento de Fermi). Esta división integral está de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli. Cada partícula dibuja una región difusa en su espacio de fase (no se pueden representar con un punto, como en la mecánica clásica). Así que ahora creo firmemente que (1) sigue siendo válido para cualquier número entero $N$, y no solo grandes números $N \gg 1$.

Necesito opiniones sobre esto.