Principio de Pauli para "Fonones"

Estoy leyendo en el capítulo "Mecánica estadística" de Feynman. 6.4 sobre un sistema de METRO partículas que interactúan, pueden ser bosones o fermiones. Sea el hamiltoniano

(1) H = ∑ i 3 METRO pag i 2 + ∑ i j 3 METRO tu i j q i q j ,

con una matriz simétrica tu y definición adecuada de p y q para deshacerse de las constantes. Al diagonalizar, el hamiltoniano se puede llevar a la forma

(2) H = 1 2 ∑ i 3 METRO ( PAG i 2 + ω i 2 q i 2 ) ,
con coordenadas generalizadas PAG i y q i . Definir los operadores de creación y aniquilación. a k = 1 2 ℏ ( ω k q k + i ω k PAG k ) y a k † .

Por lo tanto, el hamiltoniano toma la forma

(3) H = ∑ i 3 METRO ℏ ω i ( a i † a i + 1 2 ) = ∑ i 3 METRO ℏ ω i ( norte i + 1 2 ) .

Los estados propios son

(4) | norte 1 norte 2 . . . norte 3 METRO ⟩ = ∏ i 3 METRO ( a i † ) norte i norte i ! | v a C ⟩
(5) H | norte 1 norte 2 . . . norte 3 METRO ⟩ = ∑ i 3 METRO ℏ ω ( norte i + 1 2 ) | norte 1 norte 2 . . . norte 3 METRO ⟩ ,

y se interpretan como norte 1 "fonones" en el primer modo, norte 2 en el segundo y así sucesivamente.

Ahora a las preguntas:

  1. ¿Cómo tenemos que aplicar aquí el principio de Pauli? Supongo que los estados son productos tensoriales de estados de "partícula única" | norte 1 norte 2 . . . norte 3 METRO ⟩ := | norte 1 ⟩ | norte 2 ⟩ . . . | norte 3 METRO ⟩ , pero en ese caso no estarían bien simetrizados, ya que por ejemplo a 1 † ( a 2 † ) 3 | v a C ⟩ = | 1 ⟩ | 3 ⟩ no es un estado simétrico ni antisimétrico.

  2. ¿Cómo sabemos cuál debería ser la condición de simetría adecuada? ¿La función de onda tiene que ser simétrica bajo el cambio del modo fonónico?

  3. ¿Depende (2.) de si las partículas que interactúan desde el principio son bosones o fermiones, o más bien del tipo de modo? ¿Qué pasa si es una mezcla de diferentes tipos o partículas?

Hola Curio, en realidad me preguntaba si alguna vez te diste cuenta de esto. Al igual que usted, estoy tratando de entender esto y tampoco encontré la respuesta a continuación bastante satisfactoria. Mi instinto dice que esto es básicamente una aproximación que se mantiene en el límite de que todas las partículas en la red son de alguna manera distinguibles.
Gracias por tu comentario porque todavía no estoy del todo satisfecho con él. Creo que estamos asumiendo partículas distinguibles desde el principio como dijiste. Esto se justifica cuando se describe una red ya que las partículas son efectivamente distinguibles debido a la localización de los diferentes átomos. Entonces tampoco importa si los átomos son bosónicos o fermiónicos, lo cual tiene sentido. Sin embargo, de esta descripción "microscópica" obtenemos cuasi-partículas con carácter bosónico (debido a las relaciones de conmutación de los operadores de creación para los modos fonónicos).

Respuestas (1)

El principio de Pauli ya está en pleno efecto: se aplica en el momento en que establece sus operadores de creación y aniquilación para obedecer las relaciones de conmutación canónicas de la forma

[ a i † , a j † ] = d i j ,
a diferencia de las relaciones anticonmutación de la forma { a i † , a j † } = d i j . Para el caso del fonón que está tratando, las relaciones de conmutación canónicas son una consecuencia de la estructura subyacente en lugar de un axioma impuesto externamente, pero el resultado es el mismo, ya que son las relaciones de (anti) conmutación las que marcan la distinción entre fermiones y bosones en cualquier segundo formalismo cuantificado como el que estás usando.

Entre otras cosas, esto significa que su afirmación de que

Por ejemplo a 1 † ( a 2 † ) 3 | v a C ⟩ = | 1 ⟩ | 3 ⟩ no es un estado simétrico ni antisimétrico

no es correcto - el estado | 1 ⟩ | 3 ⟩ ya está totalmente simetrizado. Lo que importa no es la simetría de la función de onda bajo, en tus palabras,

intercambio del modo fonónico,

lo que no tiene sentido: lo que le importaría es el intercambio de fonones dentro de cada modo o entre diferentes modos: es decir, una operación de simetría que toma uno de esos tres fotones dentro de eso | 3 ⟩ y lo cambia por el segundo de esos. O una operación de simetría que toma el fotón en el | 1 ⟩ , lo pone en el | 3 ⟩ , y luego toma uno de los originales | 3 ⟩ y lo pone dentro del mismo modo que comenzó en | 1 ⟩ .

Cuando se expresan así, por supuesto, esas operaciones de simetría ni siquiera tienen ningún sentido, y eso se debe a que ya está operando en un formalismo automático cuantificado en segundo lugar que, independientemente de dónde provenga, hace que tales preguntas sean completamente discutible. La simetría de intercambio está codificada en las relaciones de (anti)conmutación y eso es todo.

Creo que lo entiendo, pero lo que todavía me confunde es esto: puedo preguntar por la probabilidad de que la primera coordenada generalizada tome el valor q 1 y el segundo el valor q 2 , digamos por el estado que escribí en la pregunta: PAG ( q 1 , q 2 ) = | ⟨ q 1 | ⟨ q 2 | ) ( | 1 ⟩ | 3 ⟩ | 2 = | ψ 1 ( q 1 ) ψ 3 ( q 2 ) | 2 . Dónde ψ i ( q ) es la función de onda de posición de un oscilador armónico único con número de ocupación i. Pero espero que la respuesta sea | ψ 1 ( q 1 ) ψ 3 ( q 2 ) + ψ 3 ( q 1 ) ψ 1 ( q 2 ) | 2 debido a la simetría de intercambio. ¿Cuál es mi pensamiento erróneo aquí?
No veo por qué deberíamos preocuparnos particularmente por el intercambio de dos fonones entre diferentes modos, ya que a priori el fonón es solo un concepto que "inventamos" para dar sentido a la forma del hamiltoniano, ¿no es así? Antes de diagonalizar al hamiltoniano, el estado del sistema se describía mediante una suma de productos tensoriales de estados de partículas individuales que debe obedecer a la simetría de intercambio dependiendo de si las partículas en cuestión son bosones o fermiones. ¿Por qué ya no tenemos que preocuparnos por eso?
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