Obtener los (hklhklhkl) índices de Miller a partir del ángulo de incidencia de un rayo de luz

Para una red de Bravais dada, necesita encontrar los índices para los cuales el factor de estructura$S_{hkl}$no desaparece Para redes cúbicas en realidad es bastante sencillo (por ejemplo, para las hexagonales ya puede ser muy complicado), sabiendo que NaCl tiene una estructura fcc, conocemos las posiciones atómicas en una celda unitaria:

N / A$\rightarrow$ $[0,0,0]$,$[1/2,1/2,0]$,$[1/2,0,1/2]$,$[0,1/2,1/2]$y Cl$\rightarrow$ $[1/2,1/2,1/2]$,$[0,0,1/2]$,$[0,1/2,0]$,$[0,0,1/2].$

A continuación necesitamos la expresión del factor de estructura para redes ortogonales ($f_i$es el factor de forma del átomo$i,$que contiene información sobre la identidad química del átomo):

$$S_{\rm hkl} = \sum_{\rm atom\, i \in unit-cell} f_i \exp[2\pi i(hx_i + ky_i + lz_i)]$$ Ahora simplemente sustituya las coordenadas atómicas una por una en $S_{hkl}$y haz la suma que te debe dar:

$$S_{hkl} = \left(f_{Na}+f_{Cl}e^{\pi i(h+k+l)}\right) \left(1+e^{\pi i(h+k)}+e^{\pi i(h+l)}+e^{\pi i(k+l)}\right)$$ Casi listo ahora, solo pruebe algunos ejemplos de $khl$y ver para cuáles el factor de estructura no llega a cero (proceso fácil debido a la forma simplificada del término del segundo producto en $S$). Ahora puede comprobar por sí mismo que para cualquier conjunto de índices mixtos (es decir, índices pares e impares juntos) $S \to 0,$p.ej $S_{100}=0.$Luego probamos todos los índices pares e impares, y encontramos que $S$es distinto de cero en ambos casos. Así que ahora tienes tu receta para determinar qué $hkl$Los valores son válidos para una estructura fcc: $111, 200, 220, 311,...$

Este tipo de tratamientos están cubiertos en la mayoría de los libros básicos de estado sólido, definitivamente lo alentamos a leer sobre estas cosas de manera más formal.