Distancia entre planos adyacentes en un cristal

Solo pude encontrar esta imagen de mala calidad. Debería darte una idea, de todos modos. Por ejemplo, considere la primera imagen en la primera fila:$(l,m,n)=(1,0,0)$en ese caso, y es fácil comprobar que la distancia entre los planos grises es

$$d=a$$

En el segundo caso,$(l,m,n)=(1,1,0)$, y puedes ver que

$$d=\frac a {\sqrt 2}$$

etc.

En respuesta a la pregunta: los planos adyacentes son planos que están más cerca entre sí cuando la distancia se mide a lo largo de la normal al plano. Es importante entender que cada punto de red tiene exactamente uno del conjunto infinito de planos descritos por los índices de Miller.$(h k \ell)$pasando a través de él. (Usaré$(h k \ell)$en lugar de$(\ell m n)$como el OP.) Estoy de acuerdo en que muchas explicaciones parecen carecer de información importante, por lo que aquí hay un tratamiento algo riguroso.

Sin tener en cuenta algunos casos especiales, los índices de Miller se definen de la siguiente manera. Primero, encuentre las intersecciones del plano en cuestión a lo largo de los tres ejes de cristal$\pmb{a}, \pmb{b}, \pmb{c}$en términos de múltiplos de las constantes de red, es decir,$m a, n b, o c$para enteros$m, n, o$. Luego toma los recíprocos de$m, n, o$y encontrar tres enteros$h, k, \ell$que tienen la misma razón, y cuyo máximo común divisor es 1. Como ejemplo, considere el plano que interseca a la$\pmb{a}$eje en el segundo sitio de la red, el$\pmb{b}$eje en el tercer sitio de la red, y el$\pmb{c}$eje en el primer sitio de la red. Los recíprocos de$2, 3, 1$son$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1$, que tienen la misma proporción que$3, 2, 6$. El avión se llama así$(h k \ell) = (326)$.

Para encontrar la distancia entre planos adyacentes, es útil usar los ``vectores de red recíproca'', que pueden definirse como

$$\pmb{a^*} = V^{-1}\pmb{b} \times \pmb{c} \, , \quad \pmb{b^*} = V^{-1}\pmb{c} \times \pmb{a} \, , \quad \pmb{c^*} = V^{-1}\pmb{a} \times \pmb{b} \,$$ dónde$V = \pmb{a} \cdot ( \pmb{b} \times \pmb{c})$es el volumen de la celda unitaria. Por construcción, estos tienen la conveniente propiedad de que, por ejemplo,$\pmb{a} \cdot \pmb{a^*} = 1$, mientras$\pmb{a} \cdot \pmb{b^*} = 0$, etcétera. Resulta que el vector$\pmb{H} = h \pmb{a^*} + k \pmb{b^*} + \ell \pmb{c^*}$es normal a la$(h k \ell)$avión. Esto se puede demostrar mostrando que los productos punto de$\pmb{H}$con dos vectores no colineales en el$(h k \ell)$-avión, por ejemplo,$n \pmb{b} - m \pmb{a}$y$o \pmb{c} - n \pmb{b}$, son cero.

Considere ahora el avión$P_0$que pasa por el punto de red en el origen y está definido por$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = 0 \, ,$dónde$\pmb{r} = x \pmb{a} + y \pmb{b} + z \pmb{c}$por coordenadas$x, y, z$. Debido a las convenientes propiedades de los vectores reticulares recíprocos descritos anteriormente, podemos reescribir$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = 0$como$h x + k y + \ell z = 0$. Los puntos de red son aquellos$\pmb{r}$para cual$x, y, z$son números enteros, llámalos$p, q, s$, es decir, tenemos$h p + k q + \ell s = 0$. El origen es el caso trivial, donde$p = q = s = 0$.

Ahora deseamos encontrar el plano más cercano, llámalo$P_1$, moviéndose desde el origen a lo largo de la positiva$\pmb{H}$dirección. la ecuacion de$P_1$es$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = \delta$, o$h p + k q + \ell s = \delta$para algún delta. La interpretación geométrica del producto punto significa que$P_1$debe poseer el menor valor de$\delta$posible. Además, porque$h, k, \ell$y$p, q, s$son todos números enteros, por lo que también debe ser$\delta$. El menor valor entero posible de$\delta$es 1. Estamos garantizados para poder encontrar$p, q, s$satisfactorio$h p + k q + \ell s = 1$por la identidad de Bezout , que dice que para dos enteros$a$y$b$(no es el mísmo$a$y$b$como arriba, pero nos estamos quedando sin nombres de variables) con máximo común divisor$f$(escrito$\mathrm{gcd}(a,b)=f$), existen enteros$x$y$y$(de nuevo, no el$x$y$y$arriba) tal que$ax + by = f$. Esto se generaliza a más de un par de enteros. Por lo tanto, siempre podemos encontrar$p, q, s$tal que$h p + k q + \ell s = 1$porque$\mathrm{gcd}(h, k, \ell) = 1$.

Ahora que sabemos$\delta$, queremos encontrar la distancia entre$P_0$y$P_1$medido a lo largo$\pmb{H}$. Esto se puede lograr primero viajando a lo largo$\pmb{a}$desde el origen hasta que nos encontramos$P_1$, es decir, encontrar$x$de modo que$H \cdot (x \pmb{a}) = 1$. esto tiene solucion$x = \frac{1}{h}$, de modo que el vector$\pmb{v} = \frac{1}{h} \pmb{a}$llega desde$P_0$en el origen a$P_1$a lo largo de$\pmb{a}$dirección. Finalmente entonces, el espaciamiento plano$d$es la proyección de$\pmb{v}$a lo largo de$\pmb{H}$dirección. Eso es

$$d = \pmb{v} \cdot \frac{\pmb{H}}{|\pmb{H}|} = \frac{1}{|\pmb{H}|} \, .$$

Para el caso especial de la red cúbica primitiva, los vectores de red son todos ortogonales con constante de red$a$, es decir$\pmb{a} = a \hat{\pmb{x}}$y así sucesivamente, y los vectores reticulares recíprocos son$\pmb{a^*} = \frac{1}{a} \hat{\pmb{x}}$etcétera. Por lo tanto$|\pmb{H}| = \frac{1}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + \ell^2}$, donación

$$d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + \ell^2}} \, .$$